门| GATE-CS-2000 |问题14

这是一道 GATE 计算机科学试题，涉及到图论中的最小生成树算法。我们将会在本文中详细讨论这个问题，同时带您了解 Kruskal 和 Prim 两种最小生成树算法的实现。

题干

在一个无向图 $G$ 中，每个边都有一个权值。我们希望找出一棵最小权重的生成树。给定以下图形，我们需要回答具有最小权重的生成树的权重是多少。

         5
    A------B
    |\     |
   10| \    | 1
    |  \   |
    |   \  |
    |    \ |
    D------C
         6

Kruskal 算法

Kruskal 算法是一种贪心算法，用于查找图的最小生成树。该算法按照边权重的递增顺序逐一添加所有的边，同时保证不会形成环。当添加 $n-1$ 条边（$n$ 为节点数）时，算法停止。

实现

以下为基于 Kruskal 算法的实现代码片段，其中 graph 为一个包含所有节点和边的列表，parent 为记录节点的父节点的数组。

def kruskal(graph):
    parent = {}
    
    def find_parent(node):
        while parent[node] != node:
            node = parent[node]
        return node
    
    def union(node1, node2):
        parent[find_parent(node2)] = find_parent(node1)
    
    # 将所有节点初始化为父节点
    for node in graph['nodes']:
        parent[node] = node
    
    mst = set()
    
    # 按照边权重排序
    edges = list(graph['edges'])
    edges.sort()
    
    # 逐个添加边
    for edge in edges:
        weight, node1, node2 = edge
        if find_parent(node1) != find_parent(node2):
            union(node1, node2)
            mst.add(edge)
            if len(mst) == len(graph['nodes']) - 1:
                break
    
    return mst

Prim 算法

我们是根据边的权重添加边，或是根据节点的权重添加节点，两者似乎并没有什么区别。我们来看看基于这种思想实现的另一个最小生成树算法：Prim 算法。

Prim 算法的思路是从一个起始节点出发，逐渐添加其他节点形成的边，直到所有节点都被添加。在每一步中，算法会选择距离当前集合最近的单个节点（即集合外的节点中距离集合最近的节点），并根据与该节点相连的边将其添加到集合中。

实现

以下为基于 Prim 算法的实现代码片段，其中 graph 为一个包含所有节点和边的列表：

import heapq

def prim(graph, start):
    mst = set()
    visited = set(start)
    free_edges = [(weight, start, to) for weight, start, to in graph['edges'] if start == vertex]
    heapq.heapify(free_edges)
    
    while free_edges:
        weight, frm, to = heapq.heappop(free_edges)
        if to not in visited:
            visited.add(to)
            mst.add((weight, frm, to))
        
            for next_weight, frm, to in graph['edges']:
                if to not in visited:
                    heapq.heappush(free_edges, (next_weight, frm, to))
            
    return mst

解题分析

现在我们已经了解了 Kruskal 和 Prim 两种算法的实现方式，接下来就可以使用上述算法解决本题。我们可以看出，给定图形的边缘标记为：（A, B, 5）、（A, D, 10）、（B, C, 1）、（B, D, 6）和（C, D, 5）。我们可以将其作为图的边集输入最小生成树算法。

Kruskal 算法求解

按照上述 Kruskal 算法的实现方式，我们可以将边权重排序，然后逐个添加边，直到生成的边数等于节点数减一。应用 Kruskal 算法后，我们得到了 4 条边：（B, C, 1）、（A, B, 5）、（C, D, 5）和（A, D, 10）。这些边的权重是 21，因此答案是 21。

Prim 算法求解

按照 Prim 算法的实现方式，我们可以从 A 开始遍历，将 A 添加到已访问的节点列表中，然后总是选择与已添加节点距离最近的节点，并添加从该节点连接的所有未访问节点。运用 Prim 算法后，我们得到了 4 条边：（A, B, 5）、（B, C, 1）、（C, D, 5）和（B, D, 6）。这些边的权重是 17，因此答案是 17。

结论

在本次问题中，我们已经介绍了 Kruskal 和 Prim 算法的实现方式，并将它们应用于一个最小权重生成树问题中。运用 Kruskal 和 Prim 算法，我们分别得到了 21 和 17 的结果。以后，当您遇到一个涉及最小生成树的问题时，您将可以使用 Kruskal 或 Prim 算法解决。