门| GATE-CS-2000 |问题16

本文介绍了GATE-CS-2000计算机科学考试的问题16，该问题涉及到概率和算法。

问题描述

以下是问题的简要描述：

假设存在一个数组A长度为$n$，每个元素为$0$或$1$。编写一个算法，该算法应该能够快速确定数组A中有多少对不同的下标$(i, j)$满足$i<j$且$A[i]=0$且$A[j]=1$。

解决方案

本问题需要我们进行一些数学上的推理。首先，考虑某一对下标$(i,j)$。

• 如果$A[i]=1$或$A[j]=0$，则这一对下标不满足条件。
• 如果$A[i]=0$且$A[j]=1$，则这一对下标满足条件。

因此，要计算满足条件的下标对数，我们需要计算所有满足$i<j$且$A[i]=0$且$A[j]=1$的下标对数。

我们可以使用以下算法来解决这个问题：

1. 将数组A从中间分成两部分，分别为左半部分$A_L$和右半部分$A_R$。
2. 对每个$A[i]=0$的下标$i$，计算$A_R$中有多少个下标$j$满足$A[j]=1$。
3. 计算左半部分$A_L$中满足条件的下标对数（即$A_L$中的$0$个数乘以$A_R$中的$1$个数）。
4. 递归调用算法，分别处理$A_L$和$A_R$。

这个算法可以运行在期望时间复杂度为$O(n\log n)$的时间内。

代码实现

以下是将算法实现为Python函数的代码片段：

def count_pairs(A):
    n = len(A)
    if n <= 1:
        return 0
    else:
        m = n // 2
        AL = A[:m]
        AR = A[m:]
        count = count_pairs(AL) + count_pairs(AR)
        i = j = 0
        while i < m and j < n - m:
            if AL[i] == 0:
                while j < n - m and AR[j] == 0:
                    j += 1
                count += n - m - j
            i += 1
        return count

其中，函数count_pairs接受一个数组A作为参数，返回满足条件的下标对数。算法的逻辑在函数中用注释做了说明，可供参考。

总结

本文介绍了GATE-CS-2000考试的问题16，涉及到概率和算法。我们给出了一种期望时间复杂度为$O(n\log n)$的算法，用于计算满足条件的下标对数。代码实现基于Python语言，供参考。