门| GATE CS 2010 |问题1

本题是来自2010年的GATE计算机科学考试中的一个问题。它涉及到的主题是堆和维护优先队列。

问题描述

有两个最大堆，每个最大堆中都包含$n$个整数。设计一个算法来找到两个堆中的中位数并计算时间复杂度。

解题思路

对于一个有$n$个元素的数组，中位数是第$\lfloor \frac{n}{2}\rfloor$个元素。为了找到两个堆中的中位数，我们需要把它们合并到一起，然后找到它们中的中位数。这个过程可以用维护一个优先队列来实现。

我们将两个堆的根节点放入优先队列中，以此类推。这将创建一个大小为$2n$的优先队列，并且其中$n$个元素将来自第一个堆，另一个$n$个元素将来自第二个堆。由于我们想找到中位数，我们将在其中$n$个元素返回中位数。这可以透过优先队列快速排序的机制得到保证。我们只需要弹出前$\lfloor \frac{n}{2} \rfloor$个最大元素，然后弹出下一个元素即为中位数。如果$n$为偶数，则我们需要弹出下一项并计算它与当前中位数的平均值。

时间复杂度

将两个堆合并到一起需要$O(n)$的时间，我们需要插入$2n$个元素。弹出前$\lfloor \frac{n}{2} \rfloor$个最大元素需要$O(n)$时间。

因此，总时间复杂度为$O(n)$。

代码实现

import heapq

def median_of_two_heaps(heap1, heap2):
    merged_heap = heap1.copy()
    merged_heap.extend(heap2)
    heapq.heapify(merged_heap)
    for i in range(len(merged_heap) // 2):
        heapq.heappop(merged_heap)
    if len(merged_heap) % 2 == 0:
        a = heapq.heappop(merged_heap)
        b = heapq.heappop(merged_heap)
        return (a + b) / 2
    else:
        return heapq.heappop(merged_heap)

这个函数接受两个最大堆(数组表示)，然后返回它们的中位数。我们使用Python标准库中的heapq模块来构建优先队列(堆)。其中heapq.heapify()可以将列表转换成堆，并将堆属性应用到列表中。我们可以使用heapq.heappop()来弹出堆的最大元素。

heap1 = [4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4]
heap2 = [5, 5, 5, 7, 7, 7, 7, 9]
print(median_of_two_heaps(heap1, heap2)) # 5.5

该代码实现将打印8个整数的中位数，即$5.5$。