门|门CS 2010 |问题2

问题描述

你拥有一个长度为 $n$ 的序列 $a$，你需要对该序列进行 $m$ 次操作，每次操作可以选择一个区间 $[l,r]$，使该区间内的每一个数都加 1 或减 1，最终得到一个序列 $b$。请你编写一个程序，计算操作后得到的序列 $b$ 中，有多少个数等于 $x$。

解题思路

本题可以使用差分算法来进行求解。首先计算出原序列 $a$ 的差分数组 $d$，即 $d_i=a_{i}-a_{i-1}$。对于每一次区间操作，可以通过对差分数组的操作来模拟对原序列的操作。具体地，对于区间 $[l,r]$，将 $d_l$ 加上 $1$，将 $d_{r+1}$ 减去 $1$。最后通过差分数组 $d$ 得到序列 $b$，即 $b_i=\sum_{j=1}^{i}d_j$。最后遍历序列 $b$ 统计出 $x$ 的个数即可。

时间复杂度

本题使用差分算法并进行遍历，时间复杂度为 $O(n+m)$。

参考代码

def solve(n, m, a, x, queries):
    # 计算差分数组
    d = [a[0]] + [a[i] - a[i-1] for i in range(1, n)]
    # 模拟区间操作
    for l, r in queries:
        d[l-1] += 1
        if r < n:
            d[r] -= 1
    # 计算序列 b
    b = [d[0]]
    for i in range(1, n):
        b.append(b[-1]+d[i])
    # 统计 x 的个数
    ans = 0
    for i in range(n):
        if b[i] == x:
            ans += 1
    return ans

该代码实现了差分算法，通过输入参数 $n$、$m$、$a$、$x$ 和操作数组 $queries$，返回最终序列 $b$ 中等于 $x$ 的数的个数。