门|门 CS 2010 | 问题 4

题目描述

有一所大学，里面有 $n$ 个门，每个门都有一把锁。每个学生都有一把“万能钥匙”，可以打开所有的门。

现在有 $m$ 个学生，每个学生有若干张复印的万能钥匙。现在你需要编写一个程序，判断这些钥匙能否打开所有的门。

程序设计

def can_open_all_doors(n: int, m: int, keys: List[List[int]]) -> bool:
    """
    判断钥匙能否打开所有的门
    :param n: 门的数量
    :param m: 学生数量
    :param keys: 每个学生的钥匙列表
    :return: 是否能打开所有的门
    """
    # 题目中已经说明每个门都有一把锁，因此门的数量就是每个学生可以打开的最大门数量
    max_open_doors = n
    # 统计每个门的开锁数量
    door_counts = [0] * n
    for i in range(m):
        # 每个学生的钥匙数组中的每个元素表示可以打开的门的编号
        for door_id in keys[i]:
            door_counts[door_id - 1] += 1  # 统计门的开锁数量
    # 遍历门的开锁数量，如果存在某个门的开锁数量为 0，那么这个门就无法被打开
    for count in door_counts:
        if count == 0:
            return False
    return True

代码解释

• 首先，我们需要定义一个函数 can_open_all_doors，这个函数的作用是判断钥匙是否能够打开所有的门。
• 参数 n 表示门的数量，参数 m 表示学生的数量，参数 keys 是一个二维列表，表示每个学生的钥匙列表。
• 在这个函数中，我们首先需要计算每个学生可以打开的最大门数量 max_open_doors，这个数量其实就是门的数量。我们之所以要计算这个数量，是因为如果有一个学生的钥匙列表中的门数量大于 max_open_doors，那么这个学生的钥匙是一定不能打开所有的门的。
• 接着，我们定义了一个长度为 n 的数组 door_counts，用来统计每个门的开锁数量。我们之所以要统计每个门的开锁数量，是因为某个门的开锁数量为 0，那么这个门就无法被打开。
• 然后，我们遍历每个学生的钥匙列表，对于每个学生的钥匙列表中的每个元素（门的编号），将对应的门的开锁数量加 1。由于题目中规定门的编号是从 1 开始的，而数组下标从 0 开始，因此需要将门的编号减 1。
• 最后，我们再次遍历每个门的开锁数量，如果存在某个门的开锁数量为 0，那么这个门就无法被打开，函数返回 False。否则，所有的门都能被打开，函数返回 True。

程序测试

我们可以使用以下代码进行测试：

# 测试样例
assert can_open_all_doors(3, 3, [[1, 2], [1, 3], [2, 3]]) is True
assert can_open_all_doors(3, 3, [[1, 2], [1, 3], [2]]) is False
assert can_open_all_doors(3, 3, [[1, 2], [1, 3], []]) is False

总结

本题是一道很简单的模拟题，我们只需要统计每个门的开锁数量，判断是否有某个门的开锁数量为 0 即可。这种题目主要考察代码的设计能力和简洁性，代码的时间复杂度为 $O(nm)$。