门| GATE-IT-2004 |第 84 题

本题是计算机科学领域中经典的图论问题，要求解决给定图中两个节点间的最短路径问题。该问题可以通过广度优先搜索算法来实现。

问题描述

给定一个带权重的有向图$G(V,E)$，以及其中两个节点$s$和$t$，求解$s$到$t$的最短路径。

程序实现

本题解采用Python 3实现，使用了标准库中的queue模块以及一个字典graph来表示图。其中，graph以字典形式储存每个节点对应的边。

def shortest_path(graph, start, end):
    """使用广度优先搜索算法查找最短路径"""
    queue = [(start, [start])]
    visited = set(start)
    while queue:
        (vertex, path) = queue.pop(0)
        for next in graph[vertex] - set(path):
            if next == end:
                return path + [next]
            else:
                queue.append((next, path + [next]))
                visited.add(next)
    return None

上述代码中，shortest_path()方法接受三个参数：一个表示图的字典、起始节点start和目标节点end。该方法使用一个队列以及一个集合来储存已访问的节点，并在遍历过程中维护已经遍历过的路径。

实际上，以上算法实现了广度优先搜索算法的核心操作，具体而言：

1. 将起点节点放入队列中，并将起点节点添加至已访问的集合中；
2. 如果队列不为空，则从队列中取出第一个节点vertex以及经过该节点的路径path；
3. 遍历该节点的所有未访问的邻居节点，对于每个新节点next，将其加入队列中，并将该节点与之前的路径合并为新路径。此操作需要保证新节点next在路径中不重复且未被访问过；
4. 如果新节点next与目标节点end重合，则返回该节点与之前路径组成的新路径；
5. 如果队列为空，则说明无法到达目标节点，返回None。

程序使用

使用本程序求解最短路径问题时，只需先构建出目标图，然后调用shortest_path()方法即可。

举例而言，以下代码给出了一个有向图，并求解两个节点之间的最短路径。

graph = {'A': set(['B', 'C']),
         'B': set(['A', 'D', 'E']),
         'C': set(['A', 'F']),
         'D': set(['B']),
         'E': set(['B', 'F']),
         'F': set(['C', 'E'])
         }

print(shortest_path(graph, 'A', 'F')) # 输出最短路径 ['A', 'C', 'F']

参考文献

• Breadth-First Search (BFS) on GeeksForGeeks
• Queue on Python.org