毫升 | T 分布随机邻域嵌入 (t-SNE) 算法

简介

t-SNE是一种非线性降维算法，用于将高维数据降至二维或三维的可视化表示，它通常用于探索高维数据中的群集结构和相似性。t-SNE算法基于随机邻域嵌入（Stochastic Neighbor Embedding）和T-分布随机邻域嵌入（T-distributed Stochastic Neighbor Embedding）。

在t-SNE算法中，首先计算数据点之间的相似性，然后通过将高维数据点映射到低维空间中，以保留相似性，而使得不相似的数据点被分离。t-SNE算法中，高维数据点之间的相似性通过高斯分布来计算，低维数据点之间的相似性通过t分布来计算。

算法步骤

1.计算相似性

t-SNE算法的第一步是计算高维数据点之间的相似性。在高维空间中，数据点之间的相似性通过高斯分布来计算，即：

$$ p_{j|i} = \frac{exp(-\lVert{x_i-x_j}\rVert^2/2\sigma_i^2)}{\sum_{k\neq i}{exp(-\lVert{x_i-x_k}\rVert^2/2\sigma_i^2)}} $$

其中，$p_{j|i}$代表高维数据点i与数据点j之间的相似度，$\sigma_i$代表高斯分布的标准偏差。

2.计算低维相似性

t-SNE算法的第二步是计算低维数据点之间的相似性。低维数据点之间的相似性通过t分布来计算，即：

$$ q_{j|i} = \frac{(1+\lVert{y_i-y_j}\rVert^2)^{-1}}{\sum_{k\neq i}{(1+\lVert{y_i-y_k}\rVert^2)^{-1}}} $$

其中，$q_{j|i}$代表低维数据点i与数据点j之间的相似度，$y_i$代表低维数据点i的坐标。

3.计算梯度

t-SNE算法的第三步是计算梯度，即使低维数据点距离尽可能地接近其高维数据点的相似性。梯度的计算公式如下：

$$ \frac{\partial C}{\partial y_i} = 4\sum_j{(p_{j|i}-q_{j|i})(y_i-y_j)(1+\lVert{y_i-y_j}\rVert^2)^{-1}} $$

其中，$C$是t-SNE算法的代价函数。

4.迭代求解

t-SNE算法的第四步是通过梯度下降法来求解低维空间中的数据点坐标，以最小化代价函数。然后迭代计算梯度并更新低维数据点坐标，直到达到满足收敛条件。

代码实现

t-SNE算法的代码实现可以使用Python中的scikit-learn库，使用方法如下：

from sklearn.manifold import TSNE
import numpy as np

# x是高维数据点，shape为(n_samples, n_features)
x = np.random.rand(1000, 10)

# 初始化t-SNE模型
tsne = TSNE(n_components=2, random_state=0)

# 训练模型并转换数据到2维
x_tsne = tsne.fit_transform(x)

其中，n_components代表降维后的维度数目，random_state代表随机数生成器的种子，以确保每次运行结果一致。

注意事项

t-SNE算法具有一定的复杂度，当数据集较大时，会出现计算困难或易受噪声干扰等问题。此外，t-SNE算法通常作为数据的可视化方法，而非用于建立模型或进行预测分析的方法。因此，在使用t-SNE算法时应该根据实际情况对其进行谨慎的使用。