定理–循环四边形的对角之和为180°

简介

循环四边形是指四个点按照顺序依次相连接所形成的四边形，如下图所示：

此定理称为循环四边形定理，它指出循环四边形的对角之和为180度。

数学表达式

下面是定理的一般表述：

对于一个由四个点 A、B、C、D 组成的循环四边形 ABCD，该四边形的对角线所对的两个角，其和等于180度。

即 ∠A + ∠C = 180° 且 ∠B + ∠D = 180°。

证明方法

下面是一种基于向量的证明方法：

首先，可以通过向量的加法和乘法得出四边形对角线的向量和：

$\vec{AC} + \vec{BD} = (\vec{AB}+\vec{BC}) + (\vec{CD}+\vec{DA}) = \vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CD}+\vec{DA}$

然后，可以证明四边形对角线的向量和为零向量，即：

$\vec{AC} + \vec{BD} = \vec{0}$

其中，四边形对角线的向量和等于零向量，当且仅当四个顶点 A、B、C、D 所组成的四边形是循环四边形。

最后，证明对角之和为180度即可：

$\cos(\angle{A}+\angle{C}) = \frac{\vec{A}\cdot\vec{C}}{|\vec{A}|\cdot|\vec{C}|}$

因为 $\vec{A} = -\vec{C}$，所以 $\vec{A}\cdot\vec{C} = -|\vec{A}| \cdot |\vec{C}|$

所以 $\cos(\angle{A}+\angle{C}) = \frac{-|\vec{A}| \cdot |\vec{C}|}{|\vec{A}|\cdot|\vec{C}|} = -1$

所以 $\angle{A}+\angle{C} = 180°$，同理 $\angle{B}+\angle{D} = 180°$。

证毕。

应用

循环四边形定理是计算机几何学中重要的定理之一，应用广泛。例如，当我们需要解决两个多边形的相交问题时，可以使用循环四边形定理来快速判断是否相交。

参考链接

• 循环四边形定理 - 维基百科，自由的百科全书