门 | Gate IT 2007 | 问题11

题目描述

你需要写一个程序，输入一个正整数 n ，输出一个 n×n 的矩阵，矩阵中的每个元素都是数字 0 或 1 ，矩阵的特点是：对于任意 1≤i≤n 和 1≤j≤n ，如果矩阵中第 i 列和第 j 行的元素均为 1 ，那么矩阵中第 i 行和第 j 列的元素也必须为 1 。

示例输入

3

示例输出

1 1 1
1 1 0
1 0 1

分析

本题是一道比较典型的图论建模题目。在矩阵中，如果第 i 列和第 j 行的元素均为 1 ，那么可以看作是 i 和 j 之间有一条有向边。因此，上述矩阵的特点就相当于：如果有 i->j 且 j->i ，那么就必须有 i->k 且 j->k ，k 为 1~n 中未被访问过的结点。

那么对于这个问题，一种解决方案是：采用深度优先搜索（DFS）来访问所有结点。具体来说，我们可以从 1 开始，搜索其可以到达的所有结点（即值为 0 的位置），并且标记这些结点为已访问。然后重复上述操作，直到所有结点都已被访问。在搜索时，每发现一条符合两条原则的边，就在矩阵中相应的位置上标记 1。

代码实现

下面是采用 Python3 实现的代码：

def dfs(x, y):
    if visited[x]:
        return
    visited[x] = True
    for i in range(1, n+1):
        if matrix[y][i] and matrix[x][i]:
            matrix[x][y] = 1
            dfs(i, x)

n = int(input())
visited = [False] * (n+1)
matrix = [[0 for _ in range(n+1)] for _ in range(n+1)]
dfs(1, 0)
for i in range(1, n+1):
    for j in range(1, n+1):
        print(matrix[i][j], end=" ")
    print()

其中，dfs() 函数实现了一次深度优先搜索。visited 数组用来标记每个结点是否已经被访问过，matrix 数组用来存放矩阵。在程序中，我们给 matrix 数组的第 0 行和第 0 列分别留了一行和一列，是为了方便处理。

在主函数中，我们先读取输入的正整数 n ，然后初始化 visited 和 matrix 数组，并且调用 dfs() 函数开始搜索。最后，我们按矩阵的方式输出 matrix 数组。