11类NCERT解决方案-第4章数学归纳原理–练习4.1 |套装2

简介

这是一套关于数学归纳原理的解决方案，其中包含第4章的练习4.1，适用于11类NCERT教材。这个解决方案可以帮助学生更好地理解数学归纳原理的概念，掌握如何使用数学归纳原理解决问题。

套装2内容

1. 第4章 - 数学归纳原理
   • 4.1 练习解答
2. 其他资源
   • 数学归纳原理的概念和应用介绍
   • 数学归纳原理的证明
   • 更多数学归纳原理的例题解析

练习4.1解答示例

问题1

证明：$1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

解决思路

利用数学归纳法证明。假设当 $k=n$ 时等式成立，考虑当 $k=n+1$ 时，等式是否成立。

解答步骤

1. 当 $k=1$ 时，$1^2=\frac{1\cdot 2\cdot 3}{6}=1$
2. 假设 $k=n$ 时等式成立，即 $1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
3. 考虑 $k=n+1$ 时，即 $1^2+2^2+3^2+...+n^2+(n+1)^2=?$
   1. 将 $1^2+2^2+3^2+...+n^2$ 代入，得到 $(n+1)^2+\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
   2. 化简，得到 $\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}$
4. 由归纳法原理可知，对于任意自然数 $n$ 都成立。

示例代码

证明：$1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

利用数学归纳法证明。假设当 $k=n$ 时等式成立，考虑当 $k=n+1$ 时，等式是否成立。

1. 当 $k=1$ 时，$1^2=\frac{1\cdot 2\cdot 3}{6}=1$
2. 假设 $k=n$ 时等式成立，即 $1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
3. 考虑 $k=n+1$ 时，即 $1^2+2^2+3^2+...+n^2+(n+1)^2=?$
   1. 将 $1^2+2^2+3^2+...+n^2$ 代入，得到 $(n+1)^2+\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
   2. 化简，得到 $\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}$
4. 由归纳法原理可知，对于任意自然数 $n$ 都成立。