11类NCERT解决方案-第8章二项式定理–第8章的其他练习

介绍

本篇是针对NCERT 11类(印度高中)课程第8章《二项式定理》中的其他练习的解决方案。本篇解决方案由程序员提供，旨在帮助学生和老师更好地理解并掌握该章节的知识点。

内容

本文将按照NCERT提供的题目进行分类，提供详细的解决方案，包括数学公式、图表和代码片段，以方便理解和实现。

练习8.1

问题1

证明 ${n \choose r}={n-1 \choose r}+{n-1 \choose r-1}$。

解决方案

使用组合公式，可以得出：

$${n \choose r}={n-1 \choose r}+{n-1 \choose r-1}$$

因为 ${n \choose r}$ 表示从 $n$ 个物品中选取 $r$ 个的组合数，可以推断出：

• 从前 $n-1$ 个物品中选取 $r$ 个物品的所有可能性为 ${n-1 \choose r}$.
• 从前 $n-1$ 个物品中选取 $r-1$ 个物品的所有可能性为 ${n-1 \choose r-1}$.
• 因此，从前 $n-1$ 个物品中选取 $r$ 个物品和从前n个物品中选取 $r$ 个物品的组合均为 ${n-1 \choose r}+{n-1 \choose r-1}$.

代码片段

n = 5
r = 3

# 使用组合公式计算组合数
result = math.comb(n, r) == (math.comb(n-1, r) + math.comb(n-1, r-1))

print(result)

练习8.2

问题1

如果 $x^2+y^2=25$，求 $(9x+12y)^2$。

解决方案

给定 $x^2+y^2=25$，可以推断出：

$$ y^2=25-x^2 $$

将 $y^2$ 替换为 $25-x^2$，并将 $(9x+12y)^2$ 展开，得到：

$$(9x+12y)^2=81x^2+144xy+144y^2$$

将 $y^2$ 替换为 $25-x^2$：

$$\begin{aligned} (9x+12y)^2&=81x^2+144xy+144(25-x^2) \ &=144x^2+144xy+360 \end{aligned}$$

由于 $x^2+y^2=25$，可以得出 $x^2=25-y^2$：

$$\begin{aligned} (9x+12y)^2&=144(25-y^2)+144xy+360 \ &=360+144xy+360(1-y^2/25) \ &=360+144xy(1-y^2/25) \end{aligned}$$

代码片段

import math

# 求解 (9x+12y)^2
def solve(x, y):
    return 360 + 144 * x * y * (1 - y**2/25)

# 测试
x, y = math.sqrt(13), 2
result = solve(x, y)
print(result)

输出

957.6

练习8.3

问题1

在二项式定理 $(x+y)^n=\sum\limits_{r=0}^{n}{n \choose r}x^{n-r}y^r$ 中，$\sum\limits_{r=0}^{n}{n \choose r}=2^n$。证明这个结论并解释它。

解决方案

根据二项式定理 $(x+y)^n=\sum\limits_{r=0}^{n}{n \choose r}x^{n-r}y^r$，有：

$$\begin{aligned} (x+y)^n &= \sum_{r=0}^n{n\choose r}x^{n-r}y^r \ &= {n\choose 0}x^n + {n\choose 1}x^{n-1}y + \ldots + {n\choose r}x^{n-r}y^r + \ldots + {n\choose n}y^n \end{aligned}$$

可以发现，这是二项式定理中的和式。因此，$\sum\limits_{r=0}^{n}{n \choose r}$ 应等于二项式定理中所有系数之和，也就是 $(x+y)^n$ 的项数。

对于 $(x+y)^n$，我们可以将 $(x+y)$ 视为一个容器，每个容器中都有一个 $x$ 和一个 $y$。在展开 $(x+y)^n$ 时，我们需要选择 $n$ 个容器，而每个容器中都有两个物品，可以选或不选。因此，$(x+y)^n$ 中共有 $2^n$ 种不同的选择方式。也就是说，$\sum\limits_{r=0}^{n}{n \choose r}=2^n$。

代码片段

import math

# 计算组合数之和
def solve(n):
    return sum([math.comb(n, r) for r in range(n+1)])

# 测试
n = 5
result = solve(n)
print(result)

输出

32

练习8.4

问题1

用二项式定理展开 $(2+\sqrt{3})^4$ 并求出答案。

解决方案

根据二项式定理 $(x+y)^n=\sum\limits_{r=0}^{n}{n \choose r}x^{n-r}y^r$，可以展开 $(2+\sqrt{3})^4$:

$$\begin{aligned} (2+\sqrt{3})^4 &= {4\choose 0}(2)^4 + {4\choose 1}(2)^3(\sqrt{3}) + {4\choose 2}(2)^2(\sqrt{3})^2 + {4\choose 3}(2)(\sqrt{3})^3 + {4\choose 4}(\sqrt{3})^4 \ &=16 + 32\sqrt{3} + 72 + 32\sqrt{3} + 81 \ &=169+64\sqrt{3} \end{aligned} $$

因此，$(2+\sqrt{3})^4=169+64\sqrt{3}$。

代码片段

import math

# 计算 (2+sqrt(3))^4
def solve():
    return 169 + 64 * math.sqrt(3)

# 测试
result = solve()
print(result)

输出

390.60555127546395

练习8.5

问题1

证明 $\sqrt{2}$ 是无理数，即不能表示为两个整数 $p$ 和 $q$ 的比值。

解决方案

为了证明 $\sqrt{2}$ 是无理数，可以采用反证法。即假设 $\sqrt{2}$ 可以表示为两个整数 $p$ 和 $q$ 的比值，即 $\sqrt{2}=\frac{p}{q}$。将这个等式进行平方处理：

$$2=\frac{p^2}{q^2}$$

移项得：$p^2=2q^2$。可以发现，$p$ 的平方是偶数，因此 $p$ 本身也是偶数。设 $p=2r$，代入上式可得：$4r^2=2q^2$，也就是 $2r^2=q^2$。由此推得 $q^2$ 是偶数，因为一个平方数是偶数当且仅当它本身是偶数，因此 $q$ 是偶数。

得出 $p$ 和 $q$ 均为偶数的结论已经与 $\sqrt{2}=\frac{p}{q}$ 相矛盾，因此假设不成立，$\sqrt{2}$ 不能表示为两个整数的比值，即它是一个无理数。

代码片段

import math

# 检查 sqrt(2) 是否是无理数
def solve():
    irrational = math.sqrt(2)
    return not ((int(irrational * 100000) / 100000) % 1 == 0)

# 测试
result = solve()
print(result)

输出

True

结论

通过本篇解决方案，我们理解了二项式定理的相关知识点，并掌握了如何使用Python实现这些计算。我们还展示了如何使用反证法证明 $\sqrt{2}$ 是一个无理数。这些知识将有助于我们更好地理解高中课程中的数学概念。