第 11 课 RD Sharma 解决方案 - 第 12 章数学归纳 - 练习 12.2 |设置 1

简介

该解决方案提供了练习 12.2 中设置 1 的解答，属于 RD Sharma 的第 12 章数学归纳。这个解决方案适用于数学学习者和教师，可以帮助他们更好地理解数学归纳，并在解决问题时提供指导。

内容

该解决方案涵盖了练习 12.2 中的以下问题：

1. 给定 $n \in \mathbb{N}$，证明 $1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

我们可以使用数学归纳法来证明这个等式。

基础步骤

当 $n=1$ 时，等式显然成立：

$$ 1^2 = \dfrac{1(1+1)(2\cdot1+1)}{6} $$

归纳步骤

对于任意 $k \in \mathbb{N}$，假设等式在 $n=k$ 时成立，即：

$$ 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + k^2 = \dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6} $$

我们需要证明等式在 $n=k+1$ 时也成立，即：

$$ 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + k^2 + (k+1)^2 = \dfrac{(k+1)(k+2)(2(k+1)+1)}{6} $$

将上式中的 $1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + k^2$ 用假设中的等式代替，得到：

$$ \dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2 = \dfrac{(k+1)(k+2)(2(k+1)+1)}{6} $$

整理得：

$$ \dfrac{2k^3 + 9k^2 + 13k + 6}{6} = \dfrac{2k^3 + 15k^2 + 41k + 30}{6} $$

两边都约掉 $\dfrac{1}{6}$，得证。

代码片段

当 $n=1$ 时，等式显然成立：

$$
1^2 = \dfrac{1(1+1)(2\cdot1+1)}{6}
$$

对于任意 $k \in \mathbb{N}$，假设等式在 $n=k$ 时成立，即：

$$
1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + k^2 = \dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}
$$

我们需要证明等式在 $n=k+1$ 时也成立，即：

$$
1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + k^2 + (k+1)^2 = \dfrac{(k+1)(k+2)(2(k+1)+1)}{6}
$$

结论

通过本解决方案，学习者和教师可以更好地理解和应用数学归纳法，以解决涉及数学归纳的问题。本节提供了具体的解答和说明，希望能为读者提供实质性的帮助。