GATE CS 2020 | 第 39 题

本题来自计算机科学领域中的最重要的考试之一，即“门牌 CS 2020”。此题考察了程序员的算法设计和分析能力。

题目描述

给定一个包含 $n$ 个整数的数组 $A$，请编写一个时间复杂度为 $O(n)$ 的算法来找到数组中平均数最大的非空子数组。平均数为子数组中所有元素的平均值。

输入格式

输入的第一行包含一个整数 $n$，表示数组 $A$ 中元素的个数。

接下来 $n$ 行，每行包含一个整数 $A_i$。

输出格式

输出的第一行应包含找到的非空子数组的平均数。

接下来的一行，输出找到的平均数最大的子数组的前后下标（子数组从 0 开始）。

示例

输入：

5
1
-2
3
-1
2

输出：

2.000000
0 4

解答结构

题目要求我们设计一个时间复杂度为 $O(n)$ 的算法，来找到数组中平均数最大的非空子数组。 这是一个比较典型的求最优解问题，对经典的优化求解问题，我们可以使用贪心、动态规划等算法。在本题中，我们采用贪心算法来解决。

我们首先考虑在一个非空数组区间中寻找平均数最大的子数组，假设这个数组区间是 $[l,r]$，那么它的平均数就是 $\frac{\sum_{i=l}^{r} A[i]}{r-l+1}$。 由于我们要想让平均数最大，就要尽可能地让 $\sum_{i=l}^{r} A[i]$ 最大。但是，如果我们直接暴力地考虑所有子数组的和，时间复杂度显然是 $O(n^2)$ 的，因此我们需要一个更优秀的方法来解决问题。

我们考虑固定左端点 $l$，然后找右端点 $r$，使得 $[l,r]$ 中的数组元素之和最大，此时就可以根据 $r-l+1$ 计算出其平均值。由于我们希望数组中平均数最大，因此可以采用类似于“滑动窗口”算法的方法：既然 $[l,r]$ 是该数组中和最大的子区间，那么对于 $l'\gt l$ 而言，一定有 $\sum_{i=l}^{r} A[i] ≤ \sum_{i=l'}^{r} A[i]$。因此，我们可以每次令左端点 $l$ 右移，并依次更新 $[l,r]$ 的和，找到最大和的子数组。

接下来，我们来看代码实现。