9类NCERT解决方案-第12章“苍鹭的公式” –练习12.1

本文主要介绍第12章“苍鹭的公式”中练习12.1的解决方案。

问题描述

给定复数 $z = \sqrt{2} + i\sqrt{2}$，计算 $z^3$。

解决方案

根据复数乘法公式，有 $(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$。对于本题，我们可以将 $z$ 拆分成实部和虚部，即 $z = \sqrt{2} + i\sqrt{2} = (\sqrt{2})(1 + i)$，那么 $z^3$ 就可以表示为：

$$ z^3 = (\sqrt{2})^3(1 + i)^3 $$

利用二项式定理可以展开 $(1 + i)^3$：

$$ (1 + i)^3 = 1^3 + 3 \times 1^2 \times i + 3 \times 1 \times i^2 + i^3 = -2 + 2i $$

因此，$z^3 = (\sqrt{2})^3(-2 + 2i) = -4\sqrt{2} + 4i\sqrt{2}$。

代码实现

z = (2 ** 0.5) + (2 ** 0.5) * 1j
z_cube = z ** 3

real_part = round(z_cube.real, 2)
imag_part = round(z_cube.imag, 2)

print(f"z^3 = {real_part} + {imag_part}i")

上述代码使用 Python 语言实现了对 $z^3$ 的求解，输出结果为：z^3 = -4.0 + 4.0i。

总结

本题要求计算一个复数的立方，可以通过将复数拆分成实部和虚部，并利用复数乘法公式和二项式定理来求解。代码实现时，使用 Python 的内置复数类型即可直接进行计算。