第 11 课 NCERT 解决方案-第 12 章三维几何介绍 - 练习 12.2

简介

本篇文章是关于 NCERT 中第 11 课的第 12 章三维几何中练习 12.2 的解法介绍。该练习主要涉及到计算空间中的距离和角度等问题。

解法

问题 1

已知 $A(1,-1,0)$，$B(5,5,2)$，$C(-2,4,5)$ 三点，求 $AB, BC, AC$ 三条线段的长度。

解答：

$AB=\sqrt{(5-1)^2+(5-(-1))^2+(2-0)^2}=\sqrt{77}$

$BC=\sqrt{(-2-5)^2+(4-5)^2+(5-2)^2}=\sqrt{42}$

$AC=\sqrt{(1-(-2))^2+((-1)-4)^2+0^2}=\sqrt{46}$

问题 2

已知 $A(-1,1,1)$，$B(2,-1,4)$，$C(4,4,6)$ 三点，求 $\angle ABC, \angle ACB$ 两角度。

解答：

$\vec{AB}=<2-(-1),-1-1,4-1>=(3,-2,3)$

$\vec{BC}=<4-2,4-(-1),6-4>=(2,5,2)$

$\vec{AB}\cdot\vec{BC}=3\times 2+(-2)\times 5+3\times 2=-4$

$|\vec{AB}|=\sqrt{3^2+(-2)^2+3^2}=\sqrt{22}$

$|\vec{BC}|=\sqrt{2^2+5^2+2^2}=\sqrt{33}$

$\cos{\angle ABC}=\dfrac{\vec{AB}\cdot\vec{BC}}{|\vec{AB}||\vec{BC}|}=\dfrac{-4}{\sqrt{22}\sqrt{33}}$

$\therefore \angle ABC=\cos^{-1}{\left(\dfrac{-4}{\sqrt{22}\sqrt{33}}\right)}\approx 130.63^{\circ}$

同理可得 $\angle ACB\approx 59.37^{\circ}$。

问题 3

已知 $A(2,-1,1)$，$B(4,-2,4)$，$C(8,1,1)$，$D(6,4,4)$ 四点，求线段 $AB$ 和 $CD$ 是否平行或垂直。

解答：

$\vec{AB}=<4-2,-2-(-1),4-1>=(2,-3,3)$

$\vec{CD}=<6-8,4-1,4-1>=(-2,3,3)$

$\text{dot}(\vec{AB},\vec{CD})=(2)(-2)+(-3)(3)+(3)(3)=-5$

$\text{norm}(\vec{AB})=\sqrt{2^2+(-3)^2+3^2}=\sqrt{22}$

$\text{norm}(\vec{CD})=\sqrt{(-2)^2+3^2+3^2}=\sqrt{22}$

样本点乘积为负数，说明 $\vec{AB}$ 和 $\vec{CD}$ 两向量互相垂直。