门| GATE-CS-2017（套装1）|第 56 题

这是一道计算机科学中关于递归和动态规划的经典问题，同时也是 GATE-CS-2017（套装1）考试中的一道题目。

问题描述

在一个大小为 n x m 的矩阵中，有一个机器人位于左上角 (0, 0) 处，目标是到达右下角 (n-1, m-1) 处。机器人只能向右或者向下移动，且不能移出矩阵的边界。问机器人的移动方案数有多少种。

解题思路

这道题可以用递归和动态规划两种方式解决。

递归

递归的思路是把大问题分解成小问题，然后逐步递归求解。对于这道题，我们可以考虑机器人从 (i, j) 出发到达 (n-1, m-1)，需要先到达 (i+1, j) 或者 (i, j+1)。如果 (i+1, j) 或者 (i, j+1) 超出边界，则不能走该路线。

用代码实现，可以用下面的递归函数：

def count_paths(n, m, i, j):
    if i == n-1 or j == m-1:
        return 1
    return count_paths(n, m, i+1, j) + count_paths(n, m, i, j+1)

其中，n 和 m 分别表示矩阵的行数和列数，i 和 j 表示当前机器人所在的位置。

However，递归在解决该问题的时间复杂度上会出现指数级别的增长，这极易造成时间上的障碍。

动态规划

动态规划适用于需要多次求解子问题的情况，而且每个子问题只求解一次。常见的动态规划解决方案有自顶向下和自底向上两种方式。

在这道题中，若将当前矩阵对应的地点的结果记为 $dp_{i,j}$，则可由 $dp_{i-1,j}$ 和 $dp_{i,j-1}$ 递推得到。

用代码实现时，可以使用下面的代码：

def count_paths(n, m):
    dp = [[0 for _ in range(m)] for _ in range(n)]
    dp[0][0] = 1
    for i in range(n):
        for j in range(m):
            if i > 0:
                dp[i][j] += dp[i-1][j]
            if j > 0:
                dp[i][j] += dp[i][j-1]
    return dp[n-1][m-1]

其中，n 和 m 表示矩阵的行数和列数，dp 数组保存了机器人到达每个点的路径总数。

结论

这道题是一道非常经典的计算机科学问题，涉及到递归和动态规划等算法思路。对于机器人在矩阵中的移动问题，递归的解法空间复杂度很大，而动态规划思路却可以有效减少解空间和时间复杂度。了解该问题对于编程的训练和动态规划的理解都有很大帮助。