门 | GATE CS 2021 |套装2 |问题22

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问题描述

有一个无向图 $G(V,E)$，其中 $V$ 是节点集，$E$ 是边集。每条边都有一个权重 $w_i$。设 $d(u,v)$ 表示任意两个节点 $u,v \in V$ 之间的最短路径的权重之和。现在，移除一条权重为 $w_k$ 的边 $(u_k,v_k)$，计算 $G$ 的最小生成树的权重。求移除哪条边，能使得最小生成树的权重增加的最小值。

输入格式

第一行是两个整数 $n$ 和 $m$，表示节点数和边数。

接下来 $m$ 行，每行描述一条边。每条边的形式为三个整数 $u,v,w$，表示边 $(u,v)$ 的权重为 $w$。

最后一行是一个整数 $k$，表示要移除的边的编号。

输出格式

输出一个小数，表示能使最小生成树的权重增加的最小值。

示例输入

4 5
1 2 1
2 3 2
3 4 3
4 1 4
1 3 5
1

示例输出

1.0

思路分析

这道题目可以采用 Kruskal 算法求解。首先对原图求出最小生成树，然后依次考虑每条边，如果将其移除后，最小生成树会发生变化，则计算权重差，找出差值最小的那条边即可。

具体实现时，我们需要在 Kruskal 算法中加入一个判断条件。当考虑到将要加入一条边 $(u,v)$ 时，可以判断一下是否存在另外一条路径从 $u$ 到 $v$，它的权重小于当前边的权重。如果存在这样一条路径，那么当前边不会被选择，否则会被选择。

代码实现

下面是基于 Python 语言的实现代码：

from typing import List

class UnionFind:
    def __init__(self, n: int):
        self.parent = [i for i in range(n)]
        self.rank = [0] * n
    
    def find(self, p: int) -> int:
        if self.parent[p] != p:
            self.parent[p] = self.find(self.parent[p])
        
        return self.parent[p]
    
    def union(self, p: int, q: int):
        parent_p = self.find(p)
        parent_q = self.find(q)
        
        if parent_p == parent_q:
            return
        
        if self.rank[parent_p] < self.rank[parent_q]:
            self.parent[parent_p] = parent_q
        elif self.rank[parent_p] > self.rank[parent_q]:
            self.parent[parent_q] = parent_p
        else:
            self.parent[parent_q] = parent_p
            self.rank[parent_p] += 1

class Edge:
    def __init__(self, u: int, v: int, w: int, index: int):
        self.u = u
        self.v = v
        self.w = w
        self.index = index

def kruskal(n: int, edges: List[Edge], remove_idx: int) -> float:
    edges.sort(key=lambda edge: edge.w)
    uf = UnionFind(n)
    t_weight = 0.0
    
    for i, edge in enumerate(edges):
        if i == remove_idx:
            continue
        
        if uf.find(edge.u) != uf.find(edge.v):
            t_weight += edge.w
            uf.union(edge.u, edge.v)
    
    for i, edge in enumerate(edges):
        if i == remove_idx:
            continue
        
        if uf.find(edge.u) != uf.find(edge.v):
            return float('inf')
    
    return t_weight - edges[remove_idx].w

if __name__ == '__main__':
    n, m = map(int, input().split())
    edges = []
    for i in range(m):
        u, v, w = map(int, input().split())
        edges.append(Edge(u - 1, v - 1, w, i))
    
    remove_idx = int(input()) - 1
    print(kruskal(n, edges, remove_idx))

我们首先需要定义一个辅助类 UnionFind，它表示并查集，具有三个方法：__init__ 初始化方法、find 查找方法和 union 合并方法。这里我们采用路径压缩和按秩合并的方式实现并查集。我们一共需要考虑两次 Kruskal 算法，所以在实现 kruskal 方法时，我们需要将算法的实现封装成一个函数。对于每条边，我们都需要记录它的编号，方便后续进行移除。最后，在主函数中，我们解析输入数据，调用 kruskal 方法求解即可。

完整的代码实现可以在我的 GitHub 主页上找到：https://github.com/Jack-Lee-Hiter/AlgorithmsByPython。