所有对的绝对差之和 K 次幂

在程序开发中，我们常常需要计算一组数据的绝对差之和，并且有时候还会需要对绝对差之和进行幂运算。这个问题可以描述为：给定一个长度为n的整数数组 nums 和一个整数 k，计算所有数对中的 (i, j) 的 |nums[i] - nums[j]| 的和的 k 次幂。即，$\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=i+1}^{n-1}|nums[i]-nums[j]|^k$。

解法

一个朴素的做法是，对于每对数，计算绝对差，然后做幂运算并加到结果中。这需要 $\mathcal{O}(n^2)$ 的时间复杂度和 $\mathcal{O}(1)$ 的空间复杂度。

更好的做法是排序数组，然后使用双指针法。我们将指针i放在0，j放在1，然后计算当前的绝对差之和。如果数组是升序排列的，那么|i-j|就是当前的最小绝对差，因为i和j之间的元素比i和0之间的元素大。我们移动指针i，如果i到达n-1，则移动指针j，重复这个过程，直到我们到达数组的结尾。这种方法需要 $\mathcal{O}(n\log n)$ 的时间复杂度和 $\mathcal{O}(1)$ 的空间复杂度。

另外，我们可以使用前缀和数组来计算绝对差之和，这需要 $\mathcal{O}(n)$ 时间和空间复杂度。

代码实现

下面是一个使用排序和双指针法的Python实现：

def getAllPairsDiffPowerSum(nums: List[int], k: int) -> int:
    nums.sort()
    n = len(nums)
    ans = 0
    i, j = 0, 1
    while j < n:
        ans += (nums[j] - nums[i]) ** k * (j - i)
        j += 1
        if j == n:
            i += 1
            j = i+1
    return ans

下面是一个使用前缀和数组的Python实现：

def getAllPairsDiffPowerSum(nums: List[int], k: int) -> int:
    n = len(nums)
    prefix = [0] * (n+1)
    for i in range(1, n+1):
        prefix[i] = prefix[i-1] + nums[i-1]
    ans = 0
    for i in range(n):
        ans += (2*i-n+1)*nums[i]*prefix[i] - prefix[i]*(i+1) + prefix[n]-prefix[i+1] - (2*i-n+1)*nums[i]*(prefix[n]-prefix[i+1])
    return ans * (k % 2) + (-ans) * (k % 2 == 0)

由于时间限制限制在100ms以内，因此需要使用前缀和数组的解法，因为它比双指针法更快。