国际空间研究组织(ISRO) CS 2017 – 5月 | 问题74

题目描述

给定一个正整数N，找到对于该数字来说，最小的正整数x，满足N * x可以表示为一个完全平方数的形式。

输入

• 正整数N

输出

• x，表示N * x可以表示为一个完全平方数的形式
• 如果没有该数字，输出"NA"。

样例

输入样例1

2

输出样例1

2

样例说明

N * x = 2 * 2 = 4，4 是一个完全平方数，所以 x = 2。

输入样例2

3

输出样例2

NA

样例说明

N * x = 3 * x，3 * x 不是一个完全平方数。

解题思路

题目要求找到最小的 x，使得 N * x 是一个完全平方数，可以看出这是一道数学问题。可以将 N * x 表示成质因数分解的形式，例如：

N * x = p1^a1 * p2^a2 * ... * pn^an

之后我们可以发现，如果 p1, p2, ..., pn 这 n 个质数的指数 a1, a2, ..., an 都是偶数，那么 N * x 就是一个完全平方数。因此，我们只需要把 N 分解质因数，把所有指数化成偶数，那么 N * x 就是一个完全平方数。最后输出 x 的最小值即可。

代码实现

import math

def get_prime_factors(n):
    factors = []
    i = 2
    while i * i <= n:
        if n % i:
            i += 1
        else:
            factors.append(i)
            n //= i
    if n > 1:
        factors.append(n)
    return factors

def get_min_x(n):
    prime_factors = get_prime_factors(n)
    factor_count = {}
    for factor in prime_factors:
        factor_count[factor] = factor_count.get(factor, 0) + 1
    max_count = max(factor_count.values())
    if max_count % 2 == 0:
        return int(pow(n, max_count // 2))
    else:
        return "NA"

以上是 Python 的实现，对于每个输入的 N，先通过 get_prime_factors 函数获取其所有质因数，再通过 get_min_x 函数求得 x 的最小值。

其中，get_prime_factors 函数是求 N 的质因数分解的函数，直接用的是最简单的试除法。get_min_x 函数首先统计了每个质因数的指数，然后判断最大的指数是否为偶数，如果是则返回 N 的最大质因数指数的一半直接求解 x。否则返回 "NA"。

需要注意的是，当 x 无解时，要返回 "NA"。并且这里涉及到了整数和浮点数的问题，是一个比较细节的地方。在 Python 中，整数相除返回的结果是整数，例如 3 // 2 的结果为 1。如果要得到浮点数的结果，需要将其中一个操作数强制转换成 float。