公路广告牌问题

问题描述

假设您在一条公路上行驶，经过该公路上的某些位置，存在广告牌，每个广告牌都有一个固定的收益。您希望在这条公路上放置广告牌来最大化您的收益，但是您有一个限制：相邻的广告牌必须以至少某个距离$d$之后才能放置。

具体地，设公路长度为$L$，广告牌位置为$x_1,x_2,...,x_n(n \geq 1)$（其中$0 \leq x_1 < x_2 < ... < x_n \leq L$），收益为$w_1,w_2,...,w_n$（其中$w_i(i=1,2,...,n)$为一个正整数），任意两个相邻的广告牌的距离需要不小于$d$，现在你需要求出在公路上可以放置广告牌的最大收益。

问题分析

• 最优子结构：设$f(i)$表示区间$[1,i]$内放置广告牌的最大收益，则最终要求的是$f(n)$的值。

• 状态转移方程：假设现在要考虑第$i$个广告牌是否放置，有两种情况：

  1. 放置第$i$个广告牌，则$f(i)=w_i+f(j)$，其中$j$是最后一个被放置，并且满足$x_i-x_j \geq d$的广告牌。则状态转移方程为：$f(i)=w_i+\max{f(j)}$，其中$1 \leq j <i$且$x_i-x_j \geq d$。

  2. 不放置第$i$个广告牌，则$f(i)=f(i-1)$，表示在区间$[1,i-1]$内放置广告牌的最大收益。

• 边界条件：$f(1)=w_1$。

• 最终解：最终要求的是$f(n)$的值，表示在区间$[1,n]$内放置广告牌的最大收益。

代码实现

def highway_billboard(n, x, w, d):
    """
    n: 广告牌数量
    x: 广告牌位置列表
    w: 广告牌收益列表
    d: 广告牌位置之间的最小距离
    """
    dp = [0] * (n + 1)  # 初始化dp数组
    dp[1] = w[0]  # 初始化边界条件

    for i in range(2, n + 1):
        max_w = 0  # 记录当前状态的最大收益
        for j in range(i - 1, 0, -1):
            if x[i - 1] - x[j - 1] >= d:
                max_w = max(max_w, dp[j])
        dp[i] = max(dp[i - 1], max_w + w[i - 1])

    return dp[n]

参考文献

1. 数据结构与算法分析——Python语言描述（第2版）