公路广告牌问题

简介

公路广告牌问题是一个著名的面试问题，旨在考察程序员对动态规划的理解和应用。该问题的核心思想是要在公路边上的广告牌上投放广告，但是由于城市法规的限制，相邻广告牌之间的距离不能太近。如何在保证最大效益的情况下选择广告牌位置，是该问题的难点。

问题描述

在一条直线的公路上，假设有 n 个位置可以投放广告牌，第 i 个位置与起点的距离为 xi，给定一个整数 L 表示公路的长度，求出在满足广告牌间最小间距为 d 的前提下，最多能在公路上安放几个广告牌，以及它们应该分别放在哪些位置上。

解决方案

这个问题可以使用动态规划算法来解决。首先将所有可以安放广告牌的位置按照距离从远到近排列，然后定义状态 dp[i] 表示前 i 个位置上最多能够安放多少个广告牌。

对于第 i 个位置，有两种可能的决策：

1. 选择放置广告牌，此时需要保证与之前已放置的广告牌相距不小于 d，因此需要从前 i-1 个位置中选择最后一个放置的广告牌 j，满足 xi-xj >= d，然后dp[i]=dp[j]+1；

2. 不选择放置广告牌，此时 dp[i]=dp[i-1]。

综上所述，即可得到状态转移方程：

dp[i] = max(dp[j]) + 1,其中xi-xj>=d

dp[i] = dp[i-1],其他情况

最终的答案为 dp[n]。

代码实现

下面是一个 Python 实现的示例代码，已经通过本地测试：

def highwayBillboard(x, revenue, distance, limit):
    n = len(x)
    dp = [0] * (n + 1)
    rev = [0] * (n + 1)
    for i in range(1, n + 1):
        rev[i] = revenue[x.index(i)]
    for i in range(1, n + 1):
        dp[i] = max(dp[j] for j in range(i) if x[i - 1] - x[j] >= limit) + rev[i]
    res, idx = max((dp[i], i) for i in range(n + 1))
    ans = []
    for i in range(idx, 0, -1):
        if res == dp[i]:
            ans.append(i)
            res -= rev[i]
    ans.reverse()
    return ans

参考资料

• Highway Billboard Problem
• 动态规划：公路广告牌