门| GATE CS 2011 |问题15

这是一个GATE CS 2011年的问题，涉及到计算机科学中的算法和数据结构。该问题涉及到如何查找一个有序数组中出现次数最多的元素。下面是问题的描述和解答。

问题描述

给定一个从小到大排序的数组 $A$ 和它的长度 $n$，请设计一个算法，找到在 $A$ 中出现次数最多的元素。如果存在多个这样的元素，返回它们中最小的。

解答

首先，让我们考虑一个简单的算法：对于数组 $A$ 中的每个元素 $x$，计算出它在 $A$ 中出现的次数 $c$，然后找到出现次数最多的元素。

这个算法的复杂度是 $O(n^2)$，因为需要对数组中的每个元素进行 $O(n)$ 次比较。在最坏的情况下，也就是数组中的每个元素都不同，算法的时间复杂度将达到 $O(n^3)$。这显然是不可接受的。

我们可以使用一个更高效的算法来解决这个问题。我们可以遍历数组 $A$，并将 $A$ 中所有的元素插入一个哈希表中。在插入过程中，我们可以记录每个元素的出现次数。然后，我们可以对哈希表进行一次遍历，找到出现次数最多的元素。

这个算法的时间复杂度是 $O(n)$（在最坏的情况下为 $O(n^2)$），由于哈希表的插入和查找操作都是常数时间的。然而，这个算法需要使用额外的空间来存储哈希表。如果哈希表的大小比 $n$ 大很多，那么这个算法就会使用大量的额外空间。

下面我们介绍使用二分查找算法来解决这个问题。我们使用二分查找算法查找数组中出现次数最多的元素的左右边界。这个算法的时间复杂度是 $O(log(n))$，由于它使用了二分查找算法。

我们首先使用二分查找算法查找数组中最小的元素。然后，我们使用二分查找算法查找元素在数组中的左端点和右端点。最后，我们计算元素在数组中出现的次数，并找到出现次数最多的元素。下面是这个算法的Python代码实现：

def find_most_frequent(a, n):
    # 查找最小的元素
    min_element = a[0]
    for i in range(1, n):
        if a[i] < min_element:
            min_element = a[i]

    # 查找元素的左右边界
    left = 0
    right = n - 1
    while left <= right:
        middle = (left + right) // 2
        if a[middle] == min_element:
            left = middle + 1
        else:
            right = middle - 1

    # 计算元素的出现次数
    element = a[right]
    count = 0
    for i in range(n):
        if a[i] == element:
            count += 1

    return element, count

这个算法首先查找数组中最小的元素，然后使用二分查找算法查找元素的左右边界。最后，算法计算元素在数组中出现的次数并返回它的值。

总结

本文介绍了如何查找一个有序数组中出现次数最多的元素，解决了 GATE CS 2011 年的问题 15。我们介绍了几种算法：朴素算法、哈希表算法和二分查找算法。朴素算法的时间复杂度为 $O(n^2)$，哈希表算法的时间复杂度为 $O(n)$，但它需要额外的空间。最后，我们介绍了使用二分查找算法解决该问题的方法，它的时间复杂度为 $O(log(n))$。