门 | GATE-CS-2016（套装2）|问题 24

这是一道和图算法有关的问题，具体要求是：给定一张有向图和初始节点，判断是否存在一条从初始节点开始的路径，使得这条路径经过至少k条边，并且图中不存在负环。如果这条路径存在，那么输出这条路径上所有经过的节点。

解法

这道问题可以通过利用图论中的最短路径算法来解决，例如Dijkstra算法或者Bellman-Ford算法，这两个算法的思路都是比较清晰的，因此我们在这里不再赘述。如果读者对这两个算法还不太了解，可以先学习一下相关的知识再回到这里。

本题的重点在于如何判断图中是否存在负环。对于无向图而言，只需要使用DFS或BFS遍历图，记录一个节点访问的时间戳和结束时间戳，则存在负环的充分必要条件是存在一条边的起始节点的开始时间戳小于其结束时间戳。而对于有向图而言，需要使用Floyd或Johnson算法来处理这个问题。这里我们介绍一下使用Johnson算法判断负环的方法：

1. 添加一个虚拟节点s，并从它向所有图中的节点都连一条边，并且边的权重为0。
2. 使用Bellman-Ford算法计算从虚拟节点s开始到所有图中节点的最短路径。
3. 使用计算出的最短路径将原图中的边权重进行重置。
4. 对原图中的每一个节点u，使用Dijkstra算法计算从u出发到所有其他节点的最短路径，如果发现存在某条从节点u到节点v的路径，使得dist[u] + w(u,v) < dist[v]，则说明此图存在负环。

基于上述思路，我们可以得到下面这个实现代码片段：

def has_negative_cycle(graph):
    virtual_node = len(graph)  # 添加虚拟节点
    graph.append([0] * (virtual_node + 1))
    for i in range(len(graph) - 1):
        graph[i].append(0)
    graph[virtual_node][virtual_node] = 0

    # Bellman-Ford算法计算从虚拟节点s到其他所有节点的最短路径
    dist = [float('inf')] * (virtual_node + 1)
    dist[virtual_node] = 0
    for i in range(virtual_node + 1):
        for j in range(len(graph)):
            for k in range(len(graph[j])):
                if dist[j] != float('inf') and dist[j] + graph[j][k] < dist[k]:
                    dist[k] = dist[j] + graph[j][k]

    # 使用最短路径重置边的权重
    for i in range(len(graph) - 1):
        for j in range(len(graph[i]) - 1):
            if graph[i][j] != float('inf'):
                graph[i][j] = graph[i][j] + dist[i] - dist[j]

    # Dijkstra算法寻找负环
    for i in range(len(graph) - 1):
        visited = set()
        dist = [float('inf')] * len(graph)
        dist[i] = 0
        heap = [(0, i)]
        while heap:
            (d, u) = heapq.heappop(heap)
            if u in visited:
                continue
            visited.add(u)
            for v, weight in enumerate(graph[u]):
                if weight != float('inf') and dist[u] + weight < dist[v]:
                    dist[v] = dist[u] + weight
                    heapq.heappush(heap, (dist[v], v))
            if len(visited) >= len(graph):
                return True
    return False

时间复杂度

这个算法的时间复杂度主要来源于Bellman-Ford算法和Dijkstra算法。Bellman-Ford算法的时间复杂度是$O(VE)$，其中V是节点数，E是边数，而Dijkstra算法的时间复杂度是$O(E + V \log V)$，因此总时间复杂度为$O(VE + V^2 \log V)$。

空间复杂度

空间复杂度主要来自于边的存储和Dijkstra算法中的堆的存储，因此空间复杂度为$O(V^2)$。

总结

这是一道和图算法相关的问题，需要使用最短路径算法，以及如何判断图中是否存在负环。实现过程比较复杂，但遵循上述思路，可以得到时间复杂度为$O(VE + V^2 \log V)$的解法。