门| GATE-CS-2016（套装1）|问题 11

这个问题是关于动态规划的。给定一个十进制数n，找到n位二进制数中没有相邻1的数的数量。例如，当n为3时，这样的数字是：000，001，010，100，101。

动态规划解决方案

一个长度为n的二进制数字有以下两个情况之一：

1. 第n位是0，这个二进制数字的可能性等于第n-1位为0或1的二进制数字的总和。
2. 第n位是1，这个二进制数字的可能性等于第n-2位为0的二进制数字的总和。

对于n >= 1有以下两种情况：

1. 当第n个二进制位为0时，前n-1个二进制位可以是所有没有相邻1的n-1个二进制数字的组合，即

   a[n]=a[n-1]+b[n-1]
   

2. 当第n个二进制位为1时，前n-1个二进制位必须是以0为结尾的没有相邻1的n-2个二进制数字的组合，即

   b[n]=a[n-1]
   

根据上述公式，我们可以编写以下程序来解决这个问题:

def count_binary_strings(n: int) -> int:
    a = [0] * (n + 1)
    b = [0] * (n + 1)
    a[1] = 1
    b[1] = 1
    
    for i in range(2, n + 1):
        a[i] = a[i - 1] + b[i - 1]
        b[i] = a[i - 1]
        
    return a[n] + b[n]

result = count_binary_strings(3)
print(result)  # 输出 5

在上述代码中，我们使用两个数组a和b来计算我们需要的数量。a是以0结尾的没有相邻1的n位二进制数字的数量，b是以1结尾的没有相邻1的n位二进制数字的数量。

时间复杂度

在这个程序中，我们有一个循环，其迭代次数是n。因此，时间复杂度是 O(n)。