门 | GATE-CS-2016（套装2）|问题 28

问题描述： 有一堵高墙，有许多门，其中只有一扇门可以进入到宝藏房间。给出一个数组，表示每扇门的高度。你可以跳到某个位置并将其高度减半，或者跳到下一个位置，但无法两种操作同时使用。找到一种策略，最少需要多少次操作，才能进入到宝藏房间。

样例输入：

4
4 9 3 7

样例输出：

2

解释： 我们可以跳到第三个门，将其高度减半，然后再跳到第四个门，这样就可以进入到宝藏房间了。

思路

首先需要明确一点，对于任意一个位置$i$，我们只有两种选择：跳到$i+1$或者将$a_i$减半。因此可以考虑使用贪心算法。我们每次都跳到能减去最多次的门，并把那扇门的高度减半，再继续遍历下去，直到到达宝藏房间为止。

具体实现时，我们可以使用一个动态规划数组$dp[i]$表示到达第$i$个门时，已经减半的次数。每次从能减半次数最多的门处跳到下一个门，如果下一个门与当前门的距离大于1，那么就需要将所有的中间门都减半一次，并记录下减半的次数。然后再跳到下一个门上，依此类推。

代码

下面是使用Python实现的代码：

def min_steps(n, arr):
    dp = [float('inf')]*n
    dp[0] = 0
    i = 0
    while i < n-1:
        max_steps = 0
        next_i = i
        for j in range(i+1, min(i+arr[i]+1, n)):
            if arr[j] > arr[next_i]:
                next_i = j
            max_steps = max(max_steps, arr[j]//2)
        if next_i == i:
            return -1
        dp[next_i] = min(dp[next_i], dp[i] + 1)
        for j in range(i+1, next_i):
            dp[j] = min(dp[j], dp[i] + 1)
        i = next_i
        arr[i] //= 2
    return dp[-1] if dp[-1] < float('inf') else -1

其中，$n$表示门的数量，$arr$表示每扇门的高度。函数返回的是到达宝藏房间所需的最少操作次数，如果无法达到宝藏房间，则返回-1。