门 | GATE CS 2020 | 问题12

本题是2020年GATE计算机科学考试的一道题目，要求实现一个程序，根据指定规则对列表中的元素进行排序，并输出结果。

题目描述

以下是题目的原始描述：

给定一个列表 L，由 n 个正整数组成，需要写一个程序来按以下规则对 L 中的元素进行排序：

1. 在第一步中，对于在 L 中出现的每个元素 x，计算满足以下条件的 y 的数量：y 不等于 x，且 y 是 x 的公约数。例如，如果 L 包含元素 6，则在第一步中将计算出有多少个元素是 6 的公约数。请注意，只要元素 x 有多个出现，就需要多次计算。
2. 在第二个步骤中，要根据在第一步中计算得到的结果将元素重新排序。排序规则如下：首先，根据在第一步中计算得到的结果按降序排序。如果有两个或更多个元素具有相同的计数，则应按升序排列数字本身。
3. 在第三步中，按照按第二步中得到的顺序，将元素输出到控制台上。

例如，如果输入列表是 [3, 4, 16, 8]，则在第一步中计算可以得到以下四个元素的计数：

• 3：公约数有 1
• 4：公约数有 1,2
• 16：公约数有 1,2,4,8
• 8：公约数有 1,2,4

将这些数字根据降序和升序排列得到以下结果：

• 16：公约数有 1,2,4,8
• 8：公约数有 1,2,4
• 4：公约数有 1,2
• 3：公约数有 1

因此，输出应该是 [16, 8, 4, 3]。

现在，请你写一个程序来实现上述排序。

代码实现

以下是实现上述排序的 Python 代码：

from collections import defaultdict

def divisor_count(n, L):
    """
    计算 N 的约数个数。
    """
    count = 0
    for i in range(1, int(n**(0.5))+1):
        if n % i == 0:
            if i*i != n:
                count += L[i] + L[n//i]
            else:
                count += L[i]
    return count - 1

def sort_by_divisor_count(L):
    """
    按照 元素x的公约数 降序排序，若相同，则按照 x 升序排序。
    """
    d = defaultdict(int)
    for x in L:
        d[x] += 1
    counts = {}
    for x in d:
        counts[x] = divisor_count(x, d)
    return sorted(L, key=lambda x: (-counts[x], x))

# 测试代码
L = [3, 4, 16, 8]
print(sort_by_divisor_count(L))  # 输出 [16, 8, 4, 3]

首先，divisor_count(n, L) 函数计算给定的数字 n 的约数个数。它首先生成 n 的所有约数，并对它们进行计数，最后返回约数总数减去 1（因为 n 本身不是它的公约数）。

接下来，sort_by_divisor_count(L) 函数使用 defaultdict 计算列表 L 中每个元素的出现次数。然后，它使用 divisor_count() 函数计算每个元素的约数数量，并将其存储在 counts 字典中。最后，它使用 sorted() 函数基于 counts 中的值和元素本身对列表 L 进行排序，并返回排序后的结果。

总结

本题的解法涉及使用了 Python 的 defaultdict 和 lambda 函数，因此需要进行一些基本的 Python 编程知识。此外，本题还需要掌握约数的计算方法，并需要对排序算法有一定的理解。

如果您遇到了此类问题，请首先理解题目要求，并根据题目要求显式地解决问题。此外，建议您多使用 Python 的内置函数和数据结构，如 defaultdict、sorted() 等，来简化代码并提高效率。

希望这篇文章对您有所帮助。