问题 13

给定一个序列A，找到其所有子序列中的最大子序列。

示例

输入：

A = [-2, 11, -4, 13, -5, -2];

输出：

[11, -4, 13]

解释

在所有的子序列中，[11, -4, 13] 的和为最大，为 20。

解决方案

这道题可以使用动态规划的思路解决。记录两个变量，max_sum 表示当前子序列中已知的最大和，current_sum 表示当前正累加的子序列的和。

首先将 max_sum 和 current_sum 都初始化为第一个数。依次遍历剩余的数，如果当前数加上当前子序列的和大于当前数，那么将当前数加入子序列，更新 current_sum。否则将当前数设为新的起点，更新 current_sum。

同时记录最大累加和所在的子序列的起止位置，最终输出该子序列。

下面给出 Python3 的代码实现：

def max_subarray(A):
    current_sum = A[0]
    max_sum = A[0]
    start = 0
    end = 0
    current_start = 0

    for i in range(1, len(A)):
        if current_sum + A[i] > A[i]:
            current_sum += A[i]
        else:
            current_sum = A[i]
            current_start = i

        if current_sum > max_sum:
            max_sum = current_sum
            start = current_start
            end = i

    return A[start:end+1]

使用示例：

>>> A = [-2, 11, -4, 13, -5, -2]
>>> max_subarray(A)
[11, -4, 13]

复杂度分析

时间复杂度：$O(n)$

空间复杂度：$O(1)$