题目描述

在硬笔字的世界里，有许许多多的开头和结尾，这就需要一把切割的钥匙，来将文字拆分成一个一个的“门片”。给你一个长度为 $n$ 的只包含字母 's' 和 't' 的字符串，你需要求出在所有可能的 $2^n$ 个“门片”中，字母 s 的数量减去字母 t 的数量最大的值，即：

$$ \max_{S\subset [1,n]}{\text{count_s}(S)-\text{count_t}(S)} $$

其中 $\text{count_s}(S)$ 表示仅考虑字符串 $S$ 中的字符，'s' 的数量减去 't' 的数量所得到的结果。

例如，对于字符串 'tsts'，有 $2^4$ 个“门片”，其中 $\text{count_s}({1,3,4})-\text{count_t}({1,3,4})=2$ 是最大的。

输入格式：

• 第一行为一个整数 $n$。
• 第二行为一个长度为 $n$ 的字符串，仅包含小写字母 s 和 t。

输出格式：一个整数，即字母 s 的数量减去字母 t 的数量的最大值。

数据范围

• $1\leq n\leq 20$

样例

样例1

输入：

4
tsts

输出：

2

样例2

输入：

2
tt

输出：

-2

题解

解法一: 状态压缩动态规划

这道题等价于求字符串 $S$ 的一个子序列，即子序列中的字符 's' 的数量减去字符 't' 的数量最大。对于这种求子序列问题，我们首先可以想到使用动态规划来解决。

我们可以定义状态 $f(i,x)$ 表示前 $i$ 个字符中选出的某个子集（用 $x$ 来表示）中字符 's' 的数量减去字符 't' 的数量，那么状态转移方程为：

$$ f(i,x)=\begin{cases} 0 & i=0,x=\varnothing \ f(i-1,x)+1 & S[i]=\text{'s'}, i\neq 0 \ f(i-1,x)-1 & S[i]=\text{'t'}, i\neq 0 \ \max_{y\subset x}f(i,y) & i \neq 0,x\neq \varnothing \end{cases} $$

其中第一个情况表示，当 $i=0$ 且 $x=\varnothing$ 时，表示一个空的子集，对其求解是约定其值为 $0$ 。

第二个和第三个情况表示，当前位置字符为 's' 或 't' ，根据其特性分别加入或减去符号，求解更大的值。

第四个情况表示，当前位置不选，也就是子集不加入当前位置字符，那么转移就可以直接使用上一个位置，但由于状态是包括字符集 $x$ 的变量，那么这里需要逐一枚举所有子集，再求最大值。

最终答案就是 $\max_{x\subset [1,n]}f(n,x)$ ，即在所有的合法子集中求得最大的结果。

时间复杂度：$O(3^n n)$

参考代码：