问题描述：门| GATE-CS-2015（套装1）|第 50 题

这道题目是 GATE 的计算机科学专业考试中的一道经典问题。题目描述如下：

你有两个逻辑门，每个门有两个输入和一个输出。一个门输出的是它的两个输入的否定，另一个是它的两个输入的逻辑和（or）。现在你可以用这些门构造任意布尔表达式。

你有一个 4 位数字 x ，你需要用上述两个逻辑门构造一个布尔表达式，使得输入为 x 及 x 的每一位的时候，输出为 1 。

请编写一个函数 solve_gates(x: int) -> str ，其中 x 是一个四位数字（ 0000 ≤ x ≤ 1111 ），返回用上述两个逻辑门表示的布尔表达式，满足以上要求。返回的字符串需要使用 markdown 格式。

解题思路

首先，我们需要知道两个逻辑门的真值表，分别为：

| A | B | NOT(A) | |:-:|:-:|:------:| | 0 | 0 | 1 | | 0 | 1 | 1 | | 1 | 0 | 0 | | 1 | 1 | 0 |

| A | B | A OR B | |:-:|:-:|:------:| | 0 | 0 | 0 | | 0 | 1 | 1 | | 1 | 0 | 1 | | 1 | 1 | 1 |

接着，我们可以将 x 的每一位用一个二进制数表示，比如说：

• 十进制数 7 的二进制数是 0111 （高位在左，低位在右）；
• 十进制数 2 的二进制数是 0010 。

然后，我们就可以将每一位看作一个布尔变量，比如说：

• 7 的二进制数 0111 可以看作布尔变量 $x_1, x_2, x_3$ 的取值是 true, true, true ；
• 2 的二进制数 0010 可以看作布尔变量 $x_1, x_2, x_3$ 的取值是 false, true, false 。

接下来，我们需要构造一个布尔表达式，使得对于任意的 $x_1, x_2, x_3$ 取值，当 x 的每一位的值分别等于 $x_1, x_2, x_3$ 时，该布尔表达式的值为 true 。

那么，我们可以写出如下的真值表：

| $x_1$ | $x_2$ | $x_3$ | NOT($x_1$) | NOT($x_2$) | NOT($x_3$) | $x_1$ OR $x_2$ | $x_2$ OR $x_3$ | |:----:|:----:|:----:|:-------:|:-------:|:-------:|:---------:|:---------:| | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |

我们发现，在第 3、4、7、8 行中，NOT($x_1$) AND NOT($x_2$) AND NOT($x_3$) = 0，而 $x_1$ OR $x_2$ OR $x_3$ = 1。因此，我们可以将这个布尔表达式写成：

$ (\overline{x_1} \land \overline{x_2} \land \overline{x_3}) \lor (x_1 \lor x_2 \lor x_3) $

代码实现

def solve_gates(x: int) -> str:
    x1, x2, x3 = bool(x & 0b1000), bool(x & 0b0100), bool(x & 0b0010)
    return "($\\overline{x_1} \\land \\overline{x_2} \\land \\overline{x_3}) \\lor (x_1 \\lor x_2 \\lor x_3)$"