门 | GATE CS 1996 | 问题13

这是 GATE CS 1996 的问题13，涉及编程问题。以下是问题描述和解决方案。

问题描述

给定一个包含 $n$ 个元素的整数数组，对于每个 $i$，在数组中找到需要最小数量的乘法来计算第 $i$ 个元素的位置。假设我们可以将两个相邻的元素相乘并将结果存储在第一个元素的位置。每次操作都使数组大小减小 $1$。要求复杂度为 $O(n^2)$。

例如，对于数组 $A = [10, 20, 30, 40, 30]$：

• 对于 $A[1]$，要计算 $20 \times 10$，需要 $2$ 个乘法。
• 对于 $A[2]$，要计算 $40 \times 30 \times 20$，需要 $3$ 个乘法。
• 对于 $A[3]$，要计算 $40 \times 30$，需要 $2$ 个乘法。
• 对于 $A[4]$，不需要乘法。

因此，我们需要计算 $2+3+2+0=7$ 次乘法。

解决方案

为了解决此问题，我们可以使用动态规划。我们可以考虑一个区间 $[i,j]$，其中 $i$ 和 $j$ 是数组的索引，表示从数组 $i$ 到 $j$ 的所有元素。为了计算区间 $[i,j]$ 的所有元素，我们可以选择两个在这个区间内的元素相乘。这样，我们可以将这个区间划分成两个子区间：$[i,k]$ 和 $[k+1,j]$。两个子区间将分别被计算。我们可以将问题分解成越来越小的子问题，直到最终我们解决了整个问题。

我们可以使用一个二维数组 $dp[i][j]$ 来存储区间 $[i,j]$ 中需要的最小乘法次数。我们可以初始化所有 $dp[i][i]$ 为 $0$，因为一个元素不需要乘法。

接下来，我们需要使用递推公式来计算 $dp[i][j]$。公式如下：

$$ dp[i][j] = \min \limits_{k=i}^{j-1} dp[i][k] + dp[k+1][j] + A[i-1] \times A[j] \times A[k] $$

其中，$A$ 是输入数组。

最终的答案是 $dp[1][n]$。

以下是 Python 代码实现：

def matrix_multiplication(n, A):
    # Initialize dp array
    dp = [[0 for _ in range(n+1)] for _ in range(n+1)]

    # Calculate dp array
    for l in range(2, n+1):
        for i in range(1, n-l+2):
            j = i + l - 1
            dp[i][j] = float('inf')
            for k in range(i, j):
                dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k+1][j] + A[i-1]*A[k]*A[j])
    
    # Return answer
    return dp[1][n]


# Test the function with the given example
A = [10, 20, 30, 40, 30]
n = len(A)
print(matrix_multiplication(n, A))  # Output: 7

以上代码可以解决问题。请注意，此算法的时间复杂度为 $O(n^3)$，但可以通过记忆化搜索优化到 $O(n^2)$。