门 | GATE-CS-2009 |第 57 题

这是一道关于图论的题目，考察深度优先搜索(DFS)的应用。在这个问题中，给定一个图和一个起点，需要找到到达每个顶点的最少距离（路径上的边数）。

问题描述

给定一个连通的无向图$G=(V,E)$，其中$V$为顶点集合，$E$为边集合。给定一个起点$s\in V$，找到到达图中每个顶点的最少距离。

算法

使用DFS求解最短路径问题的算法称为深度优先搜索算法。我们可以使用深度优先搜索来解决这个问题。具体步骤如下：

1. 初始化：将起点$s$的距离设置为0，其他节点的距离设置为无穷大。
2. 对于每个邻居$v$，如果从$s$到$v$的距离小于$v$的当前距离，则更新$v$的距离为$s$到$v$的距离。
3. 对于每个未访问的邻居$v$，进行深度优先搜索并更新距离。

下面是伪代码实现：

dfs(u):
    visited[u] = true
    for v in neighbors(u):
        if not visited[v]:
            distance[v] = distance[u] + 1
            dfs(v)

时间复杂度

在该算法中，每个节点至多被访问一次，因此时间复杂度为$O(|V|+|E|)$。

实现

下面是一个python代码的实现示例：

def dfs(u, G, visited, distance):
    visited[u] = True
    for v in G[u]:
        if not visited[v]:
            distance[v] = distance[u] + 1
            dfs(v, G, visited, distance)

def shortest_paths(G, s):
    n = len(G)
    visited = [False] * n
    distance = [float('inf')] * n
    distance[s] = 0
    dfs(s, G, visited, distance)
    return distance

其中，G是输入图的邻接表表示，s是起点。shortest_paths函数返回从起点到每个顶点的最短距离。