门| GATE-CS-2009 |问题8

本题是GATE-CS-2009的第8道问题，主要考察了程序员对于图遍历算法的理解以及代码实现能力。

题目描述

给定一个带权无向图，并给定该图中两个节点s和t，请你在该图中找到从s到t的K条最短路径。

输入格式

输入的第一行包含一个整数N，表示图中节点的数量。

接下来的N行，每行有N个元素，表示图的邻接矩阵（带权），其中矩阵中的i,j元素表示节点i到节点j的边权值。如果不存在这样的路径，则这个位置为-1。

接下来的一行包含三个整数s、t、K，分别表示图中起点，终点及要求的最短路条数。

输出格式

输出K行，每行为一条最短路径。

路径按照节点编号从小到大的顺序输出，每个数字之间用空格隔开。

示例

输入：

4
0 1 3 -1
1 0 1 2
3 1 0 1
-1 2 1 0
0 3 2

输出：

0 1 2 3
0 1 4 3
0 2 1 3

解题思路

本题目要求解从s到t的K条最短路径，可以通过修改经典的Dijkstra算法来得到。具体实现可以使用一个优先级队列保存从s到各个节点的距离，每次取距离最近的节点，将该节点的邻居的距离进行松弛操作。在求解出从s到t的最短路径后，我们可以在变量中记录访问该节点的次数，当访问该节点的次数达到K时，我们即可停止搜索。

可能会用到的数据结构

• 邻接矩阵：

  • 将图的顶点用一维数组来存储，遍历时可以直接获取(i,j)的边权值。

• 优先级队列：

  • 通常使用堆来实现。
  • 堆可以快速找到当前距离最近的节点，也可以在插入一个新的节点时进行排序。

代码实现

下面是可以参考的Python代码实现：

import heapq

def dijkstra(graph, s, t, k):

    distance = [float('inf')] * len(graph)
    visited = [0] * len(graph)
    parent = [None] * len(graph)

    queue = [(0, s, -1)]
    count = 0

    while queue:

        (d, node, p) = heapq.heappop(queue)
        if visited[node]:
            continue

        visited[node] = 1
        distance[node] = d
        parent[node] = p

        if node == t:
            count += 1
            if count == k:
                return construct_path(parent, s, t)

        for i, edge in enumerate(graph[node]):
            if edge != -1 and i != p:
                heapq.heappush(queue, (d+edge, i, node))

    return None


def construct_path(parent, s, t):

    path = []
    node = t

    while node != s:
        path.append(node)
        node = parent[node]

    path.append(s)
    return list(reversed(path))


if __name__ == '__main__':

    graph = [
        [0, 1, 3, -1],
        [1, 0, 1, 2],
        [3, 1, 0, 1],
        [-1, 2, 1, 0],
    ]

    s = 0
    t = 3
    k = 3

    paths = dijkstra(graph, s, t, k)
    for path in paths:
        print(" ".join(map(str, path)))

总结

本题是一道典型的图遍历算法题目，需要掌握Dijkstra算法的原理和实现方法。同时，还需要根据题目要求进行扩展和修改。在实际解决问题时，可能需要对算法进行一些优化，例如使用堆数据结构来实现Dijkstra算法，这可以提高运行效率。