门 | GATE-CS-2001 |问题 29

该问题源自于2001年的计算机科学入门考试中，是一道经典的编程题目。

问题描述

现有$N$道门，每道门的状态是开或关。只有当门前后的两个按钮都被按下，这扇门才能打开。现在你需要写一个程序来判断门是否能够全部打开。

程序输入首先要求输入门的数量$N$，然后在接下来的$N$行中，表示每道门的状态。如果该门处于关闭状态，则输入0，若处于开启状态，则输入一个正整数，表示与该门相连的另一扇门的编号。假设门的编号从1到$N$。

程序输出一个布尔值，表示所有门是否能够全部打开。如果可以，输出“True”，反之则输出“False”。

示例

输入：

5
2
0
1
4
0

输出：

True

输入：

5
2
0
5
4
0

输出：

False

解题思路

这道题可以使用深度优先搜索（DFS）来解决。我们将每道门看作节点，两道门之间的连通关系看作边，然后以其中一个门为起点，开始进行DFS搜索。通过遍历所有的节点，即可确定是否有一条路径可以将所有的节点都遍历到。

在代码实现部分，我们可以使用一个数组doors来存储每道门的状态，在DFS函数中，我们需要传入两个参数：当前搜索到的节点编号node和所有已经遍历到的节点的集合visited。由于在搜索时需要避免再次搜索已经遍历到的节点，因此我们需要一个集合来记录所有已经遍历到的节点。

def dfs(node, visited):
    visited.add(node)
    for neighbor in doors[node]:
        if neighbor not in visited:
            dfs(neighbor, visited)

在主函数中，我们将每道门与其连通的门存储在数组doors中。然后以第一道门作为起点，开始进行DFS搜索，并记录已经遍历到的所有节点。最终如果所有节点都被找到了，就输出“True”，否则输出“False”。

n = int(input())
doors = [[] for i in range(n)]
for i in range(n):
    neighbor = int(input())
    if neighbor != 0:
        doors[i].append(neighbor-1)
        doors[neighbor-1].append(i)

visited = set()
dfs(0, visited)
if len(visited) == n:
    print("True")
else:
    print("False")

时间复杂度

在最坏情况下，我们需要对每个节点进行一次遍历。因此，该算法的时间复杂度为$O(N)$，其中$N$表示门的数量。

空间复杂度

由于我们需要使用一个集合来记录已经遍历到的所有节点，因此该算法的空间复杂度为$O(N)$，其中$N$表示门的数量。

代码实现

def dfs(node, visited):
    visited.add(node)
    for neighbor in doors[node]:
        if neighbor not in visited:
            dfs(neighbor, visited)

n = int(input())
doors = [[] for i in range(n)]
for i in range(n):
    neighbor = int(input())
    if neighbor != 0:
        doors[i].append(neighbor-1)
        doors[neighbor-1].append(i)

visited = set()
dfs(0, visited)
if len(visited) == n:
    print("True")
else:
    print("False")