门| GATE-CS-2001 |问题 8

这是一道经典的GATE-CS考试问题，主要考察了程序员的算法设计和分析能力。本题要求实现一个算法，能够在给定的有向图中寻找所有的强连接性分量，并输出对应的节点集合。

问题描述

给定一个有向图G=(V,E)，其中V是节点集合，E是边集合。我们定义在该图中，若节点i和节点j互相可达，则称i和j是强连通的。强连通分量指的是图中的一些强连通的节点被组织在一起的集合。你需要设计一个算法，以线性时间复杂度（O(|V|+|E|)）的方式求出G的所有强连通分量，并输出对应的节点集合。假定输入图G已经被储存到计算机中，且可以使用|V|+|E|空间。

算法设计

Tarjan的算法是一个时间复杂度为O(|V|+|E|)的算法，用于寻找有向图的强连通分量。该算法利用了拓扑排序的思想，在拓扑排序的过程中，对节点记录了一个低状压编号lowLink（lowLink），它在强连通分量处理中起着重要的作用。

我们用辅助栈S和一个访问标记visited来记录节点的访问状态。每访问一个节点V，将其入栈S，将其visited标记为true，同时更新其强连通编号和lowLink。在访问V的每个邻节点W，如果W不在S栈中，则递归访问W，同时更新V的lowLink。若发现W已经被访问过（visited=true），则尝试将V的lowLink值更新为W的强连通编号（scc[W]）和V的lowLink的较小值。当遍历完节点V的所有邻节点后，如果V是一个强连通分量的根节点（即低状压编号等于自身编号），则弹出S栈，以所有弹出的节点为一组输出它们的强连通分量集合。

具体实现见下方代码片段。

代码实现

class Graph:
    def __init__(self, vertices):
        self.V = vertices
        self.adj = [[] for i in range(vertices)]
        self.disc = [-1] * vertices
        self.low = [-1] * vertices
        self.stackMember = [False] * vertices
        self.time = 0
        self.SCC_list = []
        self.st = []

    def addEdge(self, u, v):
        self.adj[u].append(v)

    def SCCUtil(self, u):
        self.disc[u] = self.time
        self.low[u] = self.time
        self.time += 1
        self.stackMember[u] = True
        self.st.append(u)

        for v in self.adj[u]:
            if self.disc[v] == -1:
                self.SCCUtil(v)
                self.low[u] = min(self.low[u], self.low[v])
            elif self.stackMember[v] == True:
                self.low[u] = min(self.low[u], self.disc[v])

        w = -1
        if self.low[u] == self.disc[u]:
            scc = []
            while w != u:
                w = self.st.pop()
                self.stackMember[w] = False
                scc.append(w)
            self.SCC_list.append(scc)

    def tarjanSCC(self):
        for i in range(self.V):
            if self.disc[i] == -1:
                self.SCCUtil(i)

        return self.SCC_list

总结

本题给出了Tarjan算法求图的强连通分量的具体实现细节，并讲述了该算法的整体思路。通过分析算法时间复杂度和测试数据得知，该算法的时间复杂度为O(|V|+|E|)，能够实现在线性时间内寻找图中的所有强连通分量。同时，算法实现较为简单，易于理解。