门 | GATE-CS-2001 | 问题5

本题是2001年计算机科学GATE考试中的一道题目。

题目描述

有一个$N \times N$的矩阵，矩阵中的每个元素为$0$或$1$。现在，你需要检测矩阵是否是有效的门（即一个矩阵可以被称为一个有效的门，当且仅当在矩阵中只有一个连续的区域，该区域是$(2k+1) \times (2l+1)$的矩形，其中$k$和$l$必须是非负整数且不相等，且该区域的边界必须全部为$1$，区域内的所有元素都必须是$0$）。编写一个函数，参数为矩阵，如果矩阵是一个有效的门，请返回True，否则返回False。

函数签名

def is_gate(matrix: List[List[int]]) -> bool:
    pass

参数说明

• matrix：一个$N \times N$的矩阵，矩阵中的每个元素为$0$或$1$。

示例

matrix = [
    [1, 1, 1, 1, 1],
    [1, 0, 0, 0, 1],
    [1, 0, 0, 0, 1],
    [1, 0, 0, 0, 1],
    [1, 1, 1, 1, 1]
]
assert is_gate(matrix) == True

matrix = [
    [1, 1, 1, 1, 1],
    [1, 0, 0, 0, 1],
    [1, 0, 1, 0, 1],
    [1, 0, 0, 0, 1],
    [1, 1, 1, 1, 1]
]
assert is_gate(matrix) == False

matrix = [
    [1, 1],
    [1, 1]
]
assert is_gate(matrix) == False

解题思路

本题可以使用DFS或BFS算法来解决。以DFS为例，我们从矩阵的每个元素开始，如果该元素为$1$，则从该元素开始向上、向下、向左、向右四个方向进行搜索。如果发现相邻的元素为$0$，则把该元素标记为已访问，并且继续从该元素为起点，向四个方向进行搜索，直至找到一个完整的门（$(2k+1) \times (2l+1)$）。

在DFS的过程中，需要记录当前已经访问过的元素以避免重复访问。另外，需要检查该门是否满足区域要求（区域内的所有元素必须是$0$，区域的边界必须全部为$1$）。

代码实现

from typing import List

def is_valid_cell(matrix, visited, i, j):
    # 首先判断是否越界
    if i < 0 or i >= len(matrix) or j < 0 or j >= len(matrix[0]):
        return False
    # 然后判断是否已经访问过
    if visited[i][j]:
        return False
    # 最后判断当前元素是否为0
    if matrix[i][j] == 0:
        return False
    return True

def is_gate(matrix: List[List[int]]) -> bool:
    visited = [[False for _ in range(len(matrix[0]))] for _ in range(len(matrix))]
    for i in range(len(matrix)):
        for j in range(len(matrix[0])):
            # 如果该元素为1且未被访问过，则从该元素开始搜索门
            if matrix[i][j] == 1 and not visited[i][j]:
                count_rows, count_cols = 0, 0
                rows, cols = [], []
                is_valid_gate = True
                stack = [(i, j)]
                while stack:
                    x, y = stack.pop()
                    if visited[x][y]:
                        continue
                    # 检查当前元素是否为0，如果是则标记为已访问，继续搜索
                    if matrix[x][y] == 0:
                        visited[x][y] = True
                        continue
                    visited[x][y] = True
                    count_rows += 1 if x not in rows else 0
                    rows.append(x)
                    count_cols += 1 if y not in cols else 0
                    cols.append(y)
                    # 检查当前元素是否为边界元素
                    if x == 0 or x == len(matrix) - 1 or y == 0 or y == len(matrix[0]) - 1:
                        continue
                    # 检查当前元素的相邻元素是否为0
                    if not is_valid_cell(matrix, visited, x + 1, y) or \
                       not is_valid_cell(matrix, visited, x - 1, y) or \
                       not is_valid_cell(matrix, visited, x, y + 1) or \
                       not is_valid_cell(matrix, visited, x, y - 1):
                       is_valid_gate = False
                       break
                    # 将相邻的元素加入栈中，继续搜索
                    stack.append((x + 1, y))
                    stack.append((x - 1, y))
                    stack.append((x, y + 1))
                    stack.append((x, y - 1))
                # 检查是否满足门的要求
                if not is_valid_gate or count_rows % 2 == 0 or count_cols % 2 == 0 or count_rows != count_cols:
                    continue
                # 如果满足，返回True
                return True
    # 如果不存在门，返回False
    return False

总结

本文介绍了一道经典编程题目，即如何检测一个矩阵是否是一个有效的门。本题可以用DFS或BFS算法来解决，在DFS的过程中需要记录已经访问过的元素，并且需要检查门是否满足区域要求。本文中给出了DFS算法的代码实现，读者可以根据自己的需要选择合适的算法来解决本题。