主理想域 (PID) | 离散数学

什么是主理想域？

主理想域是指一个整环，其任意非零理想都可以通过一个元素生成。简单来说，就是一个满足拥有唯一分解定理的整环。

为什么主理想域很重要？

主理想域在代数学中有着重要的地位，因为它是一种常见的数学结构，广泛应用于很多领域，如数论、代数几何和代数方程等。

如何判断一个环是否为主理想域？

对于一个环 $R$，可以通过以下方式来判断是否为主理想域：

1. $R$ 是整环；
2. $R$ 中每个非零元素都可以写成 $u p_1^{e_1} p_2^{e_2} \cdots p_n^{e_n}$ 的形式，其中 $u$ 是 $R$ 中的单位元素，$p_i$ 是 $R$ 的不可约元素，$e_i$ 是正整数。并且这种写法是唯一的。

如果满足以上条件，则 $R$ 是主理想域。

一个例子

假设有环 $R=\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$，其中 $\mathbb{Z}$ 表示整数集合，$\sqrt{-5}$ 表示虚数 $i$ 乘以 $\sqrt{5}$。那么 $R$ 中的元素可以用 $a+b\sqrt{-5}$ 的形式表示，其中 $a$ 和 $b$ 是整数。

我们要证明 $R$ 是主理想域。首先，$R$ 是整环，这一点比较容易证明。接着，我们考虑 $R$ 中的非零元素 $a+b\sqrt{-5}$ 的形式。

对于不可约元素 $p=\alpha+\beta\sqrt{-5}$，其对应的理想为 $I_p=(p)$，即由 $p$ 生成的理想。根据唯一分解定理，任意一个在 $R$ 中的元素都可以写成 $u p_1^{e_1} p_2^{e_2} \cdots p_n^{e_n}$ 的形式，其中 $u$ 是 $R$ 中的单位元素，$p_i$ 是 $R$ 的不可约元素，$e_i$ 是正整数，并且这种写法是唯一的。

因此，我们只需要证明 $p$ 生成的理想 $I_p$ 是主理想即可。

对于 $I_p$ 中的元素 $a+b\sqrt{-5}$ 和 $c+d\sqrt{-5}$，我们可以定义其乘积为：

$$(a+b\sqrt{-5})(c+d\sqrt{-5})=(ac-5bd)+(ad+bc)\sqrt{-5}$$

注意到 $ac-5bd$ 和 $ad+bc$ 都是整数。因此，我们可以得到：

$$\begin{aligned} I_p &={x \in R | x=(a+b \sqrt{-5}) p, a, b \in \mathbb{Z}} \ &={x \in R | x=c+d\sqrt{-5}, c, d \in \mathbb{Z}}\end{aligned}$$

也就是说，$I_p$ 中的任意元素都可以表示成 $c+d\sqrt{-5}$ 的形式，因此 $I_p$ 是主理想。由唯一分解定理可知，$R$ 是主理想域。