门 | GATE-CS-2009 | 问题1

该问题是GATE-CS-2009考试的第一道题目，旨在测试程序员对递归算法和二分查找的理解和应用。具体问题描述如下：

给定一个排序的整数数组A和一个整数k，编写一个递归算法，判断数组A中是否存在一个整数x，满足x=k。要求分析算法的时间复杂度。

分析算法

首先，我们可以考虑使用线性搜索来解决这个问题，即从数组的第一个元素开始逐个查找，直到找到与k相等的元素，或者遍历完整个数组。但是，这种方法的时间复杂度是线性的，因此对于大型数组来说不可行。

相比之下，二分查找算法可以更快地找到目标元素。它可以在每一次迭代中通过比较目标值和数组中间的元素来缩小搜索范围。根据中间元素和目标元素相等，大于或小于的情况分别采取递归、返回成功和继续搜索下一个子区间的策略。

本题要求使用递归算法进行实现。一个简单的递归步骤如下：

• 检查是否有元素需要搜索，即左右指针是否重合
• 取数组中间的元素
• 如果中间元素等于要搜索的值，则返回成功。
• 如果中间元素小于要搜索的值，则通过递归调用函数，在右半个数组中进行搜索。
• 如果中间元素大于要搜索的值，则通过递归调用函数，在左半个数组中进行搜索。
• 如果在上述步骤中没有找到目标元素，则返回失败。

对于一个长度为n的数组，二分查找的时间复杂度是O(log n)。

代码示例

以下是使用Java编写的基于递归的二分查找代码片段：

// 二分查找算法实现  （在给定数组A中查找值为k的元素）
public static boolean binarySearch(int[] A, int k) {
    return binarySearch(A, 0, A.length - 1, k);
}

private static boolean binarySearch(int[] A, int left, int right, int k) {
    if (left > right) {
        return false;
    }
    int mid = (left + right) / 2;
    if (A[mid] == k) {
        return true;
    } else if (A[mid] < k) {
        return binarySearch(A, mid + 1, right, k);
    } else {
        return binarySearch(A, left, mid - 1, k);
    }
}

在上面的代码中，我们定义了两个函数，外部函数通过传递需要查找的数组和目标值k调用内部函数。内部函数则通过递归的方式不断缩小查找区间，直到找到目标元素或者搜索区间为空。