RD Sharma第8类 - 分解 - 练习7.6

RD Sharma第8类涵盖了数学的各个方面，其中包括了分解这个主题。本练习旨在加强学生的分解理解和技能，包括学习整式、分式和因数等方面。让我们来了解一下其中的一道练习题。

题目

将分式分解为部分分式：

$$ \frac{5x^2 - 4x + 11}{(x + 1)(x^2 + 4)} $$

解法

根据部分分式的定义，要将分式分解为多个部分分式的和，我们需要先找出其分母的因数，并确定每个分式的分子。

此处分母$(x+1)(x^2+4)$是完整的。因此，我们需要找到以下形式中的A，B和C：

$$ \frac{5x^2-4x+11}{(x+1)(x^2+4)} = \frac{A}{x+1} + \frac{Bx+C}{x^2+4} $$

将右侧的两个部分相加并等于原始分式，则有：

$$ \frac{A(x^2+4)+(Bx+C)(x+1)}{(x+1)(x^2+4)} = \frac{5x^2-4x+11}{(x+1)(x^2+4)} $$

将分子展开并收集项，则有：

$$ Ax^2 + 4A + Bx^2 + Bx + Cx + C = 5x^2 - 4x + 11 $$

将相同的项（即$x^2$、$x$和常数项）进行组合，得到以下三个方程：

$$ A + B = 5 \ C + B = -4 \ 4A + C = 11 $$

使用这些方程解出A、B和C的值，并代入分式分解的初始方程中，则有：

$$ \begin{aligned} \frac{5x^2-4x+11}{(x+1)(x^2+4)} & = \frac{2}{x+1} + \frac{(3x-2)}{x^2+4} \ \end{aligned} $$

因此，原始分式已成功分解为两个部分分式的和。

总结

这种分解分式的方法可以广泛应用于各种分数分子分母的组合中。因此，这是每个学习分解的学生都必须学会的技能之一。

在此练习中，我们使用了基本的代数运算技能，例如组合项和将分母分解为其因子的乘积。这些技能也是学生必须掌握的基本技能。

在学习这个主题时，学生应该牢记这种方法，并学会在各种情况下通过消元来解方程，以找出未知数的值。