使用不同分母添加或减去分数高级：Worksheet

在数学中，在不同的分母下进行运算是一种常见的技巧。这种技巧经常在计算中使用不同单位或度量时被使用。在这个练习中，我们将介绍如何使用不同分母添加或减去分数，以及如何将它们转换为相同的分母。

添加或减去具有不同分母的分数

当我们想要将具有不同分母的分数相加或相减时，我们需要将它们转化为相同的分母，这样才能方便地执行操作。

让我们看几个例子：

示例1

如果我们想要将 $\frac{2}{3}$ 加上 $\frac{1}{4}$，我们需要将第一个分数的分母（3）乘以第二个分数的分母（4），同时将第二个分数的分母（4）乘以第一个分数的分母（3）。这将导致两个分数具有相同的分母，我们可以将它们相加：

$$\frac{2}{3} + \frac{1}{4} = \frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{11}{12}$$

示例2

如果我们想要将 $\frac{3}{5}$ 减去 $\frac{1}{3}$，我们可以使用相同的方法。此时，我们需要将第一个分数的分母（5）乘以第二个分数的分母（3），同时将第二个分数的分母（3）乘以第一个分数的分母（5）。这将导致两个分数具有相同的分母，我们可以将它们相减：

$$\frac{3}{5} - \frac{1}{3} = \frac{9}{15} - \frac{5}{15} = \frac{4}{15}$$

将分数转换为相同的分母

现在让我们看看如何将具有不同分母的分数转换为相同的分母。这通常称为找到最小公共分母（LCM）。

让我们看一下具有 2、3 和 4 分母的分数 $\frac{1}{2}$、$\frac{2}{3}$ 和 $\frac{1}{4}$。 如果我们想要将这些分数转化为相同的分母，我们需要找到它们的最小公共分母。在这种情况下，最小公共分母是 12。这是因为 12 可以被 2、3 和 4 整除。

• $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{6}{6}$，得到 $\frac{6}{12}$；
• $\frac{2}{3}$ 乘以 $\frac{4}{4}$，得到 $\frac{8}{12}$；
• $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{3}{3}$，得到 $\frac{3}{12}$。

现在，我们已经将这些分数转化为相同的分母。我们可以将它们相加或相减。

代码实现

在 Python 中，我们可以编写一个函数来将具有不同分母的分数相加或相减，并将它们转换为相同的分母。 下面是一个示例函数：

def add_fractions(f1, f2):
    # Compute the lowest common multiple
    lcm = f1[1] * f2[1] // math.gcd(f1[1], f2[1])

    # Convert fractions to the same denominator
    num1 = lcm // f1[1] * f1[0]
    num2 = lcm // f2[1] * f2[0]

    # Add the numerators
    result = num1 + num2

    # Simplify the result
    g = math.gcd(result, lcm)
    return (result // g, lcm // g)

在这个函数中，我们首先计算两个分数的最小公共分母，并转化为相同的分母。然后，我们添加分数的分子，并通过它们的最大公约数将结果简化为最简分数。

总结

在本练习中，我们学习了如何使用不同分母相加或相减分数，以及如何将它们转换为相同的分母。这是执行许多计算和解决实际问题的重要技能。最后，我们还提供了一个 Python 实现，可以应用于具有不同分母的分数。