门|门 CS 1996 |问题 14

问题 14 是一个经典的组合数学问题，它描述了一个人在一条由门和墙构成的长廊中行走的情境。该问题主要涉及到计算排列组合的数量，需要程序员具备较强的数学基础和编程实践经验。

问题描述

假设有一个长度为 $2n$ 的长廊，其中恰好有 $n$ 个门和 $n$ 堵墙，一个人从长廊的一端出发，每次只能向前或向右走一步，当这个人走到一个门口时，他就可以选择向里进去或者继续走到下一个门口。假设人最终到达了长廊的另一端，求他从出发点到终点的所有路径中，恰好经过 $k$ 个门的路径总数。

解法思路

解决此问题的关键在于计算路径数量。由于长廊中恰好有 $n$ 个门和 $n$ 堵墙，因此当这个人到达第 $i$ 个门口时，他会有两个选择：要么进去门里面，要么继续往前走。我们可以将其视为一棵树的构建过程，从根节点出发的深度优先遍历路径即为题目所求的路径。

对于树的遍历，我们可以采用回溯算法，并在遍历的过程中实时统计路径数量。具体地，我们将每个门都与一个编号对应，用 $1,2,\dots,n$ 表示，假设我们已经走到第 $i$ 个门口，且已经经过了 $j$ 个门，我们可以将此状态标记为 $(i,j)$。由于一个门口可以进或不进，我们需要在状态转移的时候，分别计算进门和不进门两种情况的路径数量。具体而言，设当前状态为 $(i,j)$，则可以转移到 $(i+1,j)$ 或 $(i+1,j+1)$，因为只有这两种情况会经过第 $i+1$ 个门。

最终，我们需要统计所有经过 $k$ 个门的路径总数。根据组合数学的知识，可以得到此问题的解为 $C_n^k C_{n}^{n-k}$，其中 $C_n^k$ 表示从 $n$ 个元素中选取 $k$ 个元素的组合数。

代码实现

下面是该问题的 Python 代码实现：

def dfs(n, i, j, k, vis):
    if j > k or i + (n - j) < k:  # 不合法状态
        return 0
    if i == n:  # 到达终点
        return 1
    if (i, j) in vis:  # 已经访问过
        return vis[(i, j)]
    vis[(i, j)] = dfs(n, i + 1, j, k, vis) + dfs(n, i + 1, j + 1, k, vis)
    return vis[(i, j)]

def count_paths(n, k):
    vis = {}
    return dfs(n, 0, 0, k, vis) * comb(n, n - k)

def comb(n, k):
    res = 1
    for i in range(k):
        res = res * (n - i) // (i + 1)
    return res

其中，dfs(n, i, j, k, vis) 表示遍历到某个状态 $(i,j)$ 时，经过 $k$ 个门的路径数量；vis 是一个哈希表，用于缓存已经访问过的状态。count_paths(n, k) 则是主函数，统计经过 $k$ 个门的路径数量，其中 comb(n, n-k) 表示从 $n$ 个门中选取 $k$ 个门的组合数。