门| GATE CS Mock 2018 |设置 2 |问题 17

该问题是2018年计算机科学毕业生资格考试（GATE CS）的一部分。问题描述如下:

给定一个$N$个节点，$M$个边的有向图，其中每个节点都表示一个可以在网关上安装传感器的位置，而每个有向边 $(u, v)$ 表示节点 $u$ 可以直接向节点 $v$ 发送数据。每一个传感器可以覆盖它所在的节点及其后代。因此，如果一个节点$u$上有一个传感器，则任何可以从节点$u$到达的节点$v$也可以被该传感器覆盖。设计一个算法，使要求设置尽可能少的传感器，以便使得所有节点都可以被覆盖。

解题思路

一个简单的贪心算法可以解决这个问题。首先，我们尝试将图中的每个点都用一个传感器覆盖掉，而不管它们能否被其他传感器覆盖。接下来，我们尝试了解那些可以被其他传感器覆盖的点。

遍历每个已经覆盖的节点 $u$，寻找所有可以到达的节点 $v$。对于每个 $v$，检查是否可以通过从 $u$ 到 $v$ 的路径上第一次遇到的一个以前未扫描的节点 $w$ 覆盖 $v$。如果可以，那么 $v$ 可以被标记为不需要覆盖。这是因为，如果您已经在从 $u$ 到 $w$ 的路径上覆盖了 $v$，则此传感器也可以覆盖 $w$ 和任何可以从 $w$ 到达的节点（以及任何可以从 $u$ 到达的节点）。一般来说，言下之意就是在当前的代价下，根据经过的父节点路径从子节点路径上的未扫描的节点可能是最优的解决方案。

快速搜索路径到一个当前未扫描的节点 $w$ 直接经过的所有节点 $v$，可以使用基于深度优先的搜索或拓扑排序来实现。在这两种算法中，我们可以用简单的标志符来标记每个节点，说明它们是否被扫描过。在拓扑排序中，我们需要维护一个正在处理的节点列表，以防止重复被扫描，而在DFS中，我们需要跟踪从树中每个节点到其祖先的路径。

我们可以通过将网络上的节点进行拓扑排序来实现此算法。我们可以用一个数组来跟踪每个节点的传感器状态，并根据传感器数量输出结果。

代码实现

下面是用Python 3编写的代码：

def sensor_DFS(v, traversed, dependent, sensor):
    traversed[v] = True
    
    for w in dependent[v]:
        if not traversed[w]:
            sensor[w] = sensor[v]
            sensor_DFS(w, traversed, dependent, sensor)


def find_min_sensors(node_count, edges):
    dependent = {i: [] for i in range(node_count)}
    
    # 生成边的列表
    for edge in edges:
        dependent[edge[0]].append(edge[1])
    
    # 设置默认状态，每个节点都需要一个传感器
    sensor = [1 for _ in range(node_count)]
    traversed = [False for _ in range(node_count)]
    
    # DFS标记不需要传感器的节点
    for v in range(node_count):
        if not traversed[v]:
            sensor_DFS(v, traversed, dependent, sensor)
    
    return sum(sensor)

这个代码实现始终是渐进O(m+n)的。