门 | GATE CS Mock 2018 | 问题 17

题目描述

给定一排门，每个门有两个状态：打开（表示为1）或关闭（表示为0）。开始时，所有门都是关闭的。每当经过一排门的末尾时（即经过最后一个门），你可以将一个开闭的开关切换状态（即，将打开的门关闭或将关闭的门打开）。你的目标是找到一种最小的策略，这样你可以通过一排门，使得最后一个门打开。

编写一个Python函数，它将接受一个由0和1组成的整数列表作为输入，并返回一个整数，表示到达达成目标所需切换的门的最小数量。 如果无法到达目标，则函数应返回-1。

函数签名为：

def minSwitches(n: int, arr: List[int]) -> int:
    pass

解题思路

这是一个非常经典的图论问题。我们可以将每个门看作一个节点，并将打开的门看作从该节点出发的有向边，关闭的门看作没有出边的节点。然后，我们需要寻找一条从起点（第一个门）到终点（最后一个门）的路径。我们可以使用Breath-First-Search（BFS）来寻找这样的路径。

在BFS期间，我们将跟踪到每个节点的最少开关次数。如果我们找到了一条从起点到终点的路径，则这个数字就是对题目的解。

代码实现

以下是完整的Python函数实现。它接受一个由0和1组成的整数列表作为输入，并返回一个整数，表示达到目标所需切换的门的最小数量。 如果无法到达目标，则函数将返回-1。

from typing import List
from collections import deque

def minSwitches(n: int, arr: List[int]) -> int:
    # 初始节点的状态表示为字符串形式
    start_node = ''.join(str(x) for x in arr)
    
    # 终止节点的状态只有最后一个门是打开的
    end_node = '0'*(n-1) + '1'
    
    # 当前节点、所需开关数和初始 visited 集合
    curr_node = start_node
    num_swaps = 0
    visited = set([curr_node])
    
    # BFS 队列
    queue = deque([(curr_node, num_swaps)])
    
    while queue:
        curr_node, num_swaps = queue.popleft()
        
        # 如果达到了终止节点，则回传目前所需的步数
        if curr_node == end_node:
            return num_swaps
        
        # 考虑所有可能的下一步
        for i in range(n):
            # 翻转第 i 个门
            temp_node = list(curr_node)
            temp_node[i] = '1' if curr_node[i] == '0' else '0'
            new_node = ''.join(temp_node)
            
            # 如果下一步节点未访问，则将其加入队列及已访问的节点集合中
            if new_node not in visited:
                visited.add(new_node)
                queue.append((new_node, num_swaps+1))
    
    # 如果未找到从起始节点到达终止节点的路径，则回传 -1
    return -1

复杂度分析

该算法使用BFS来寻找从起点（第一个门）到终点（最后一个门）的路径。最坏情况下，每个节点都将被访问一次，因此时间复杂度为O（n ^ 2）。空间复杂度为O（2 ^ n），因为对于每个节点，我们需要在队列中存储一个元素，并且我们需要保持已访问的节点的集合。

测试

为了测试我们的函数，我们给出了一些输入样例和它们的预期输出。这些测试样例的列表包含在Python代码中。

def test_minSwitches():
    # 输入例子1
    n1 = 4
    arr1 = [0, 0, 1, 0]
    expected_output1 = 2
    assert minSwitches(n1, arr1) == expected_output1
    
    # 输入例子2
    n2 = 5
    arr2 = [0, 0, 1, 1, 1]
    expected_output2 = 0
    assert minSwitches(n2, arr2) == expected_output2
    
    # 输入例子3
    n3 = 3
    arr3 = [1, 0, 1]
    expected_output3 = -1
    assert minSwitches(n3, arr3) == expected_output3
    
test_minSwitches()

如果在Python控制台上运行上一个代码单元，则没有错误输出，则意味着所有测试用例都已通过。