门| GATE CS 2018 |问题 17

这是一道来自于 GATE 2018 的计算机科学问题。该问题主要考察的是二叉搜索树相关的知识和算法。

问题描述

给定一个整数序列 $A$，构造一个二叉搜索树并返回该树的高度。

示例：

A = [2, 4, 3, 1, 7, 6, 5]

二叉搜索树如下：

      2
    /   \
   1     4
        / \
       3   7
          / \
         6   5

输出结果：

4

因为这个二叉搜索树的高度为 $4$。

解题思路

二叉搜索树（Binary Search Tree, BST）是一种特殊的二叉树：对于每个节点 $n$，它的左子树全部节点的值都小于 $n$ 的值，而它的右子树全部节点的值都大于 $n$ 的值。所以二叉搜索树非常适合用于查找（二分查找）、插入、删除等操作。

我们可以通过二分查找的方式，将整个序列构建成一个二叉搜索树，并返回该树的深度即可。

构建二叉搜索树的方法：

1. 将第一个元素 $A[0]$ 作为树的根节点。
2. 从第二个元素 $A[1]$ 开始，依次与根节点比较大小，如果 $A[i]<root$，则放在根节点的左子树，否则放在右子树。如果相等则忽略。
3. 对于每个节点，递归执行与第 2 步相同的操作，直到所有元素都被插入。

这里有一份 Python 代码实现：

class Node:
    def __init__(self, val):
        self.left = None
        self.right = None
        self.val = val

def insert(root, val):
    if root is None:
        return Node(val)
    if val < root.val:
        root.left = insert(root.left, val)
    elif val > root.val:
         root.right = insert(root.right, val)
    return root

def height(root):
    if root is None:
        return 0
    else:
        return max(height(root.left), height(root.right)) + 1

def build_bst(A):
    n = len(A)
    if n == 0:
        return None
    root = Node(A[0])
    for i in range(1, n):
        root = insert(root, A[i])
    return root

A = [2, 4, 3, 1, 7, 6, 5]
root = build_bst(A)
print(height(root))

总结

二叉搜索树的操作都比较简单，但由于构建二叉搜索树的方法不唯一，不同的构建方法会导致不同的树形态，因此对于一些特殊的情况，可能需要根据实际情况来选择合适的构建方法。此外，针对不同的操作，还可以使用不同的数据结构来解决问题，比如平衡树、红黑树等，也可以使用其他算法来提升操作效率。