重言式的问题

先决条件：命题基础、法律

命题——命题在文学中的含义是一个想法、一个计划或一个提议，或者一个可以被证明为真或假的建议。数学命题也是如此。它们是可以为真或假的陈述句。命题是逻辑的基本组成部分。

Examples:

1. The magnetic lines emerge from the North and merge into South pole.

2. 2 + 1 = 3

3. ‘p’ is a vowel.

All of the above three sentences are proper propositions, where the first two are True and the third one is False.

重言式

如果无论原子公式的真/假如何，命题逻辑始终为真，则称它是重言式。重言式总是“真”。为了检查给定的逻辑是否是重言式，我们经常使用真值表方法。虽然当逻辑包含许多原子公式时，真值表方法无效。

Example:

Odd number = A

Even number = B

1. If we add one odd number and one even number then we get odd number.

Converting statement-1 into mathematical logic:

A ∧ B ⇒ A

让我们证明上述逻辑是重言式。为了建立真值表，我们需要将逻辑语句转换为分句形式。

A ∧ B ⇒ A 的真值表，分句形式为：￢(A ∧ B)∨A

A	B	(A ∧ B)	￢(A ∧ B)	￢(A ∧ B)∨A
T	T	T	F	T
T	F	F	F	T
F	T	F	T	T
F	F	F	T	T

所有条目都是 True，与 atomic 字面量的 True/False 值无关。所以，这是一个重言式。

带有逻辑符号的重言式示例：

1. ￢A∨A
2. (P∨Q)⇒(P∨Q)

一个数学句子由逻辑组成。一个命题要么是真，要么是假。命题是由数理逻辑组成的。下面按优先顺序给出了各种命题逻辑：

1. 否定（否）
2. 连词（和）
3. 析取（或）
4. 暗示（⇒）
5. 等价 (⇔)

重言式——一个永远正确的命题。为给定的命题评估真值表，如果在每种情况下结果都是 True，则该命题称为重言式。

真值表

它是一个表格，针对每个输入组件给出命题逻辑的输出。结果是二进制的，每行输入为 True 或 False。

问题：找出给定的命题逻辑是否是重言式。

1) P

真值表：

P
T
F

P 的真值表包含一个 False 值。因此，它不能是重言式。

2) P⇒P

我们将为这个命题画出真值表。

含义：

P⇒Q =￢P∨Q

给定命题的简化表达式为：￢P∨P

真值表：

P	￢P	￢P∨P
T	F	T
F	T	T

￢P∨P 的真值表仅包含 True 值。因此，P⇒P 是一个重言式。

3）（P⇒P）⇒P

我们将为这个命题画出真值表。

含义：

P⇒Q=￢P∨Q

The simplified expression of the given proposition is: 

(￢P∨P) ⇒ P

￢(￢P∨P)∨P

(￢(￢P) ∧ ￢P)∨P {By Demorgan’s Law}

(P ∧ ￢P) ∨P

(P ∧ ￢P)= False {Complement laws: – P∧￢P=F }

False  ∨ P = P {Absorption law}

Thus, (P ⇒ P) ⇒ P is equivalent to P. We have already solved this in problem-1.

Therefore, this is not a Tautology.

4) (p → q) → [(p → q) → q]

Solving: (p → q) = ￢p∨q {Implication}

Solving: [(p → q) → q] 

       = [(￢p∨q) → q]

       = [￢(￢p∨q)∨q]

       = [(￢(￢p)∧￢q)∨q] {Demorgan’s Law}

       = [(p∧￢q)∨q] {Involution law}

       = [(p∨q)∧(￢q∨q)] {Distributive law}

       = [(p∨q)∧T] {Complement law}

       = (p∨q) {Absorption law}

Solving (p → q) → [(p → q) → q]

￢(￢p∨q)∨(p∨q)

[￢(￢p)∧(￢q)]∨(p∨q){Demorgan’s Law}

(p∧￢q)∨(p∨q) {Involution law}

Thus, final expression is: (p∧￢q)∨(p∨q)

真值表：

p	q	￢q	(p∧￢q)	(p∨q)	(p∧￢q)∨(p∨q)
T	T	F	F	T	T
T	F	T	T	T	T
F	T	F	F	T	T
F	F	T	F	F	F

由于真值表中有一个 False 条目，这意味着它不是重言式。

5) ((P⇒Q)∧P)⇒Q

Solving (P⇒Q): ￢P∨Q

Solving ((P⇒Q)∧P): ((￢P∨Q)∧P)

          = (￢P∧P)∨(Q∧P) {Distributive Law}

          = (F)∨(Q∧P) {Complement Law}

          = (Q∧P) {Absorption Law}

Solving ((P⇒Q)∧P)⇒Q: (Q∧P)⇒Q

                     = ￢(Q∧P)∨Q

                     = (￢Q∨￢P)∨Q {Demorgan Law}

                     = (￢Q∨Q)∨￢P) {Associative Law}

                     = T∨(￢P) {Complement Law}

                     = T {Absorption Law}

Final CNF is: True

Here, no need of finding the Truth Table. Given logic is a tautology.