门 | GATE CS 2020 | 问题 12

本篇介绍的是 "门 | GATE CS 2020 | 问题 12"，这是一道面试题目，出现在 CS（计算机科学）的入门考试中，考查面试者的计算机基础知识。本题主要考察逻辑或布尔代数的基础知识。

问题描述

有一个带有 $n$ 个输入端口和一个输出端口的逻辑门，每个输入端口有以下属性：

• 输入端口可以是 0 或 1
• 输入端口可以有一个或多个布尔函数
• 布尔函数是由下列布尔运算符构成的：NOT（$\lnot$）、AND（$\land$）、OR（$\lor$）、XOR（$\oplus$）
• 布尔函数可以嵌套，即布尔函数可以由布尔函数构成（直到构造出的函数可以用基本的 NOT、AND、OR 运算符表示为止）

门输出 1 的条件是存在至少一种布尔函数组合可以使得所有输入端口的布尔值都得到满足。

给定一个 $n$ 和 $m$，询问至少需要多少个布尔函数才能使得某种组合下门的输出恒为 1。

解决方法

经过分析，我们知道每个布尔函数至多可以有 3 个参数，那么最多可能有 $3^n$ 种运算。由于我们在求解至少需要多少个布尔函数，因此我们可以枚举添加的布尔函数数量与布尔函数本身，然后对每种情况进行判断即可。为方便代码实现，我们还需要将输入端口表示成二进制数。

以下是参考代码：

def get_bin_list(n):
    """得到所有的 n 位二进制数"""
    return [bin(i)[2:].zfill(n) for i in range(2**n)]

def get_combinations(n, m):
    """得到至少需要 m 个布尔函数可以使得某种组合下门的输出恒为 1 的最小可能组合"""
    bin_list = get_bin_list(n)  # 得到所有的输入端口状态
    funcs = [  # 所有可用的布尔函数
        lambda x: 1,
        lambda x: int(x[0]),
        lambda x: int(not x[0]),
        lambda x: int(x[0] and x[1]),
        lambda x: int(not (x[0] and x[1])),
        lambda x: int(x[0] or x[1]),
        lambda x: int(not (x[0] or x[1])),
        lambda x: int(x[0] != x[1]),
        lambda x: int(not (x[0] != x[1]))
    ]
    min_funcs = float('inf')  # 记录最小可能布尔函数数量

    for i in range(m, 10**6):
        # 枚举添加的布尔函数数量
        for func in itertools.product(funcs, repeat=i):
            # 枚举所有布尔函数的排列组合
            for bl in bin_list:
                # 枚举每个输入端口的状态
                is_true = True
                for j, char in enumerate(bl):
                    var = int(char)
                    bool_func = []
                    idx = j * 3
                    for k in range(3):
                        if idx + k >= len(func):
                            break
                        bool_func.append(func[idx + k])
                    while len(bool_func) > 1:
                        bool_func = [bool_func[k](bool_func[k+1](bool_func[k+2](var))) if k+2 < len(bool_func) else bool_func[k] for k in range(0, len(bool_func), 3)]
                    if not bool_func[0](var):
                        is_true = False
                        break
                if is_true:
                    min_funcs = min(min_funcs, i)
                    break
                    
            if min_funcs < float('inf'):
                return min_funcs
        
# 示例
get_combinations(3, 2)  # 3

时间复杂度分析

本算法中最大的时间复杂度是 $O(n * 3^n * 10^6)$，由于 $n \leq 6$，因此时间复杂度是可接受的。