算法测验|须藤放置[1.6] |问题2

本篇文章是针对《算法竞赛入门经典》第1.6节须藤放置的问题2进行介绍。

问题描述

给定一个长度为 $n$ 的整数序列 $A$，初始时序列中所有元素均为 $0$。现在有 $m$ 次操作，每次操作给出两个整数 $l$ 和 $r$，要求将 $A$ 中下标在区间 $[l,r]$ 内的所有元素加 $1$。请你最终输出 $A$ 中每个元素的值。

解题思路

我们可以使用差分数组来解决这个问题。

差分数组是原数组的相邻元素之差所组成的数组。具体地，设原数组为 $A$，则差分数组 $B$ 的定义为：

$$B_i=A_i-A_{i-1} \quad (2\leq i\leq n)$$

原数组的前缀和 $P$ 满足：

$$P_i = \sum_{j=1}^i A_j \quad (1\leq i\leq n)$$

而差分数组的前缀和 $Q$ 满足：

$$Q_i=\sum_{j=1}^i B_i = A_i-A_1 \quad (2\leq i\leq n)$$

在进行区间加时，我们只需将差分数组 $B$ 中下标在区间 $[l,r]$ 内的元素 $+1$，即 $B_l \gets B_l+1$，$B_{r+1} \gets B_{r+1}-1$。

最后，我们可以根据差分数组 $B$ 的前缀和 $Q$ 得到原数组 $A$：

$$\begin{aligned}A_1 &= Q_1 \ A_i &= Q_i-Q_{i-1} \quad (2\leq i\leq n)\end{aligned}$$

代码实现

下面是一个 Python 实现例子：

n, m = map(int, input().split())
B = [0] * (n + 1)
for i in range(m):
    l, r = map(int, input().split())
    B[l] += 1
    if r + 1 <= n:
        B[r + 1] -= 1
A = [0] * (n + 1)
for i in range(2, n + 1):
    B[i] += B[i - 1]  # 差分数组求前缀和
for i in range(1, n + 1):
    A[i] = B[i] - B[i - 1]  # 根据差分数组求原数组
print(*A[1:])  # 输出结果

这是一个 $\Theta(m+n)$ 的算法，其中 $m$ 表示操作次数，$n$ 表示数组长度。