题目介绍

本题为GATE-CS-2016(Set 1)考试的问题10，需要求解一个算法问题。题目描述如下：

给定一个长度为$n$的整数序列$A_1,A_2,\dots,A_n$，和一个正整数$k$，求所有由序列$A$中元素构成的长度为$k$的不同子序列中，所有元素之和的最大值。

解题思路

这是一道比较经典的动态规划问题，我们可以用动态规划的方法来解决。首先，我们可以考虑定义一个$dp(i,j)$表示从序列$A$的前$i$个元素中选择$j$个元素构成的子序列中，所有元素之和的最大值。其中$1\leq i\leq n$且$1\leq j\leq k$。

接下来，我们考虑转移方程。对于$dp(i,j)$，我们可以分为两种情况考虑：

• 如果第$i$个元素被选择了，那么有$dp(i,j)=\max{dp(i-1,j-1)+A_i,dp(i-1,j)}$，其中$dp(i-1,j-1)$表示前$i-1$个元素中选择了$j-1$个元素，并且第$i$个元素必须选择的情况，$dp(i-1,j)$表示前$i-1$个元素中选择了$j$个元素，第$i$个元素没有选择的情况。
• 如果第$i$个元素没有被选择，那么有$dp(i,j)=dp(i-1,j)$，即前$i-1$个元素中选择了$j$个元素，并且第$i$个元素没有选择的情况。

最终，我们可以得到答案$ans=\max{dp(n,j)}$，其中$1\leq j\leq k$。

代码实现

下面是动态规划的实现代码，时间复杂度为$O(nk)$：

def max_sum_subseq(n, A, k):
    dp = [[0] * (k + 1) for _ in range(n + 1)]

    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, k + 1):
            if j == 1:
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j-1] + A[i-1], 0)
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j-1] + A[i-1], dp[i-1][j])

    ans = max(dp[n])
    return ans

其中，$n$表示序列$A$的长度，$A$表示序列$A$本身，$k$表示所求子序列的长度。