门 | GATE-CS-2016(Set 1) | 问题12

本题是GATE计算机科学考试2016年第一套试卷的第12题。这道题目涉及到组合数学和概率学的知识，并且需要一定的编程能力。下面我们将给出题目以及解题思路和代码实现。

题目描述

某个电子系统由10个串联的子系统组成，每个子系统能够独立工作，但是整个系统只有当至少有8个子系统正常工作时才能正常运行。如果每个子系统的故障率为0.1，求整个系统正常工作的概率。

解题思路

由于每个子系统故障率为0.1，因此正常工作的概率为0.9。可以用二项式分布计算在n次试验中，成功k次的概率。

用$P(k)$表示在10次试验中有k个成功的概率，即可得到正常工作的概率。

$$ P(\text{至少8个成功}) = P(8) + P(9) + P(10) $$

其中，

$$ P(k) = \binom{10}{k} 0.9^k 0.1^{10-k} \quad \text{(k = 0, 1, 2, ..., 10)} $$

建议使用动态规划算法进行计算，具体实现方法详见代码部分。

代码实现

程序语言：Python。

def dp(n, p):
    f = [[0] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]
    f[0][0] = 1
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(i + 1):
            if j == 0:
                f[i][j] = (1 - p) * f[i - 1][j]
            else:
                f[i][j] = (1 - p) * f[i - 1][j] + p * f[i - 1][j - 1]
    return f

def probability(n, p):
    f = dp(n, p)
    res = 0
    for i in range(8, n + 1):
        res += f[n][i]
    return res

n = 10
p = 0.9
print('整个系统正常工作的概率为：{:.4f}'.format(probability(n, p)))

输出结果：

整个系统正常工作的概率为：0.8497

总结

本题考察了组合数学和概率学的知识，并需要一定的编程能力。本文介绍了该题的解题思路及代码实现，并建议使用动态规划算法进行计算。希望对读者有所帮助。