你有多少种方法可以用两个骰子掷出 8 的总和？

概率意味着可能性。它说明事件即将发生的可能性。事件的概率只能存在于 0 和 1 之间，其中 0 表示事件不会发生，即不可能，1 表示肯定会发生，即确定性。

事件发生的概率越高或越小，事件发生或不发生的可能性就越大。例如 – 一枚无偏的硬币被抛一次。因此，结果的总数只能是 2，即“正面”或“反面”。两种结果的概率相等，即 50% 或 1/2。

因此，事件的概率是有利结果/结果总数。它用括号表示，即P(Event)。

P(Event) = N(Favorable Outcomes) / N (Total Outcomes)

Note: If the probability of occurring of an event A is 1/3 then the probability of not occurring of event A is 1-P(A) i.e. 1- (1/3) = 2/3

什么是样本空间？

事件的所有可能结果称为样本空间。

例子-

• 一个六面骰子掷一次。因此，总结果可以是 6 和
  样本空间将是 [1, 2, 3, 4, 5, 6]
• 抛一枚无偏的硬币，因此，总结果可以是 2 和
  样本空间将是 [Head, Tail]
• 如果两个骰子一起滚动，则总结果将为 36 和
  样本空间将是
  [(1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)
  (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)
  (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)
  (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)
  (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)
  (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)]

活动类型

独立事件：如果两个事件（A 和 B）是独立的，那么它们的概率为

P(A and B) = P (A ∩ B) = P(A).P(B) i.e. P(A) * P(B)

示例：如果两个硬币被翻转，那么两个硬币都是反面的机会是 1/2 * 1/2 = 1/4

互斥事件：

• 如果事件 A 和事件 B 不能同时发生，则称为互斥事件。
• 如果两个事件互斥，则两者发生的概率记为 P (A ∩ B) 并且
  P (A 和 B) = P (A ∩ B) = 0
• 如果两个事件互斥，则任一事件发生的概率记为 P (A ∪ B)
  P (A 或 B) = P (A ∪ B)
  = P (A) + P (B) - P (A ∩ B)
  = P (A) + P (B) - 0
  = P (A) + P (B)

示例：在六面骰子上掷出 2 或 3 的机会是 P（2 或 3）= P（2）+ P（3）= 1/6 + 1/6 = 1/3

不互斥事件：如果事件不互斥，则

P (A or B) = P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A and B)

什么是条件概率？

对于某个事件 A 的概率，给出了某个其他事件 B 的发生。写成 P (A ∣ B)

P (A ∣ B) = P (A ∩ B) / P (B)

示例-在一袋 3 个黑球和 2 个黄球（共 5 个球）中，拿一个黑球的概率是 3/5，拿第二个球的概率是黑球或黄球取决于先前取出的球。因为，如果拿了一个黑球，那么再次捡到一个黑球的概率是 1/4，因为只剩下 2 个黑球和 2 个黄球，如果之前拿过一个黄球，那么再次捡到一个黑球的概率是黑球将是 3/4。

你有多少种方法可以用两个骰子掷出 8 的总和？

解决方案：

When two dice are rolled together then total outcomes are 36 and 
Sample space is 
[ (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)  
   (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6) 
   (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)
   (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)  
   (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)  
   (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6) ]

So, pairs with sum 8 are (2, 6) (3, 5) (4, 4) (5, 3) (6, 2) i.e. total 5 pairs

So, in 5 ways we can roll a 8 with two dice.

类似问题

问题 1：两个骰子掷出 7 有多少种方式？

解决方案：

When two dice are rolled together then total outcomes are 36 and 
Sample space is 
[ (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)  
  (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)  
  (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)  
  (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)  
  (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)  
  (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6) ]

So, pairs with sum 7 are (1,6) (2, 5) (3,4) (4, 3) (5, 2) (6,1) i.e. total 6 pairs

So, in 6 ways we can roll a 7 with two dice.

问题 2：用两个骰子掷出 6 有多少种方式？

解决方案：

When two dice are rolled together then total outcomes are 36 and 
Sample space is 
[ (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6) 
   (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6) 
  (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6) 
  (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6) 
  (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6) 
  (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6) ]

So, pairs with sum 6 are (1,5) (2, 4) (3,3) (4, 2) (5, 1) i.e. total 5 pairs

So, in 5 ways we can roll a 6 with two dice.

问题 3：用两个骰子掷出 5 有多少种方式？

解决方案：

When two dice are rolled together then total outcomes are 36 and 
Sample space is 
[ (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6) 
  (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6) 
  (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6) 
  (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)  
  (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)
  (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6) ]

So, pairs with sum 5 are (1,4) (2, 3) (3,2) (4, 1) i.e. total 4 pairs

So, in 4 ways we can roll a 5 with two dice.