门| GATE-CS-2017（套装2）|问题 23

本题涉及编程，将向大家介绍对应的代码实现。

题目描述

给定一个矩阵，其中每个元素都是一个非负整数，表示到该点的步数限制。从左上角出发，到达右下角的最短路径上的最大步数。

例如，该矩阵为：

|1|2|3| |-|-|-| |4|5|6| |7|8|9|

则从左上角开始，最短路径为1->4->7->8->9，最大步数为8.

本题需要完成一个函数，其输入参数为矩阵，输出结果为最短路径上的最大步数。

解题思路

此题可以使用动态规划的算法实现。定义一个二维数组$dp$来存储到目前格子的最短步数，其中$dp_{i,j}$表示到$(i,j)$这个位置的最短步数限制。则可以根据$dp$数组的定义来进行动态规划的求解。

对于到达$(i,j)$这个位置，可以从$(i-1,j)$或$(i,j-1)$两个方向来。则$(i,j)$这个位置的状态转移方程为：

$$ dp_{i,j} = \min(dp_{i-1,j}, dp_{i,j-1}) + a_{i,j} $$

其中$a_{i,j}$表示矩阵中到达$(i,j)$这个位置的步数限制。

最后，最短路径上的最大步数即为$dp$数组中右下角的数值。

代码实现

def shortest_path(matrix):
    m = len(matrix)
    n = len(matrix[0])

    dp = [[float('inf')] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]
    dp[0][1], dp[1][0] = 0, 0

    for i in range(1, m + 1):
        for j in range(1, n + 1):
            dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + matrix[i-1][j-1]

    return dp[-1][-1]

以上是Python代码实现，输入参数为矩阵，输出结果为最短路径上的最大步数。代码逻辑十分清晰，实现也非常简单易懂。

总结

本题较为简单，考察了动态规划的基本思想和实现方法。希望大家通过本题，加深对动态规划的理解，并熟悉动态规划的实现。